归并排序

概念

归并排序（MERGE-SORT）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。
该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；
即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

过程

1、比较a[i]和a[j]的大小，若a[i]≤a[j]，则将第一个有序表中的元素a[i]复制到temp[k]中，并令i和k分别加上1；
2、否则将第二个有序表中的元素a[j]复制到temp[k]中，并令j和k分别加上1.
3、如此循环下去，直到其中一个有序表取完，然后再将另一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元。

归并排序的算法我们通常用递归实现，先把待排序区间[first, last]以中点二分，接着把左边子区间排序，再把右边子区间排序，最后把左区间和右区间用一次归并操作合并成有序的区间[first,last]。

工作原理

第一步：申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列
第二步：设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
第三步：比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
重复步骤3直到某一指针超出序列尾，将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾。

算法复杂度

时间复杂度为O(nlogn) 这是该算法中最好、最坏和平均的时间性能。
空间复杂度为 O(n)
比较操作的次数介于(nlogn) / 2和nlogn - n + 1。
赋值操作的次数是(2nlogn)。
归并排序比较占用内存，但却是一种效率高且稳定的算法。

实现代码

void Merge(vector<int> &nums, int start, int mid, int end)
{
    int i = start, m = mid, j = mid + 1, n = end;
    vector<int> nums_H(end - start + 1);//辅助空间
    int k = 0;
    while (i <= m && j <= n)
    {
        if (nums[i] < nums[j])
            nums_H[k++] = (nums[i++]);
        else
            nums_H[k++] = (nums[j++]);
    }
    while (i <= m)
    {
        nums_H[k++] = (nums[i++]);
    }
    while (j <= n)
    {
        nums_H[k++] = (nums[j++]);
    }
    for (i = 0; i < k; i++)
    {
        nums[start + i] = nums_H[i];
    }
}

void MergeSort_H(vector<int> &nums, int start, int end)
{
    if (start < end)
    {
        int mid = start + (end - start) / 2;
        MergeSort_H(nums, start, mid);
        MergeSort_H(nums, mid + 1, end);
        Merge(nums, start, mid, end);
    }
}

void MergeSort(vector<int> &nums)
{
    int len = nums.size();
    MergeSort_H(nums, 0, len - 1);
}