BZOJ1096: [ZJOI2007]仓库建设(dp+斜率优化)

Description

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

Source

感觉自己拿到题目还是太想当然了，连题目都没读完就开始xjb列方程，，

首先题目中有一条比较重要的性质

• ‘产品只能往山下运

因此第$N$个工厂一定有仓库

这样的话DP方程就比较好列了，$f[i]$表示在第$i$个位置安装了仓库且前$i$个工厂都已经安置好的最优方案

设$dis[i]$表示$i$号节点到山顶的距离，$num[i]$为第$i$个工厂储存物品的数量，$spend[i]$为在第$i$个工厂建造仓库的花费

我们不难列出方程

那么$f[i]=min(f[i],\sum_{j=1}^{i-1} f[j]+Build(j,i))$

其中$Build(l,r)$为在第$r$个位置建仓库，前一个仓库在$l$的费用，

我们需要求的值为$\sum_{i=l+1}^{r-1}((dis[r]-dis[i])*num[i])+spend[r]$

但是这个并不好维护，因此我们把它拆开维护

设$g(x)=\sum_{i=1}^{x} -dis[i]*num[i]$

$sum(x)=\sum_{i=1}^{x} num[i]$

根据前缀和

$$Build(l,r)=dis[r]*(sum[r-1]-sum[l])+g[r-1]-g[l]+spend[r]$$

这样的话就有20分了

考虑继续优化，把上面的式子暴力推推推，再把只包含$i$的删去，不难得到

$f[i]+dis[i]*num[j]=f[j]-g[j]$

把$dis[i]$看成$k$

把$num[i]$看成$x$

把$f[i]$看成$b$

把$f[j]-g[j]$看成$y$

然后就能斜率优化了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define int long long 
//#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<23,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<23],*p1=buf,*p2=buf;
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int N;
int dis[MAXN],num[MAXN],spend[MAXN];
int sum[MAXN],g[MAXN];//g[i]=∑dis[i]*num[i] 
int f[MAXN];
int Q[MAXN];
int Build(int l,int r)
{
    return dis[r]*(sum[r-1]-sum[l])+g[r-1]-g[l]+spend[r];
}
double X(int x){return sum[x];}
double Y(int x){return f[x]-g[x];}
double slope(int x,int y){return ( Y(y)-Y(x) ) / ( X(y) -X(x) );}
main()
{
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in","r",stdin);
    //freopen("b.out","w",stdout);
    #endif
    N=read();
    for(int i=1;i<=N;i++) 
        dis[i]=read(),num[i]=read(),spend[i]=read(),
        g[i]=-dis[i]*num[i],g[i]+=g[i-1],
        sum[i]=num[i],sum[i]+=sum[i-1]; 
    for(int i=1;i<=N;i++) f[i]=Build(0,i);
    int h=1,t=1;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        while(h<t&&slope(Q[h],Q[h+1])<dis[i]) h++;
        int j=Q[h];
        f[i]=min(f[i],f[j]+Build(j,i)); 
        while(h<t&&slope(Q[t-1],Q[t])>slope(Q[t-1],i)) t--;
        Q[++t]=i;
    }
    printf("%lld",f[N]);
    return 0;
}