10G:乘积最大

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描述

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：

1)  3*12=36

2)  31*2=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入

程序的输入共有两行：
第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
第二行是一个长度为N的数字串。

输出

输出所求得的最大乘积（一个自然数）。（保证最终答案不超过int范围）

样例输入

4 2
1231

样例输出

62

来源

NOIP2000复赛 普及组 第三题

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[41][41]; //i到j组成的数字 
int d[41][41]; //d[i][j]表示在前i个字符插入j的乘号的最大值 
int num[41];
char numc[41];
int main(){
    int n, k; 
    cin>>n>>k;
    int i, j;
    cin>>numc;
    for(i = 1; i <= n; i++)
        num[i] = numc[i-1] - ‘0‘;
    for(i = 1; i <= n; i++){
        for(j = i; j <= n; j++){
            a[i][j] = a[i][j-1]*10+num[j];
        //    cout<<a[i][j]<<" "; 
        }
        //cout<<endl;
    }
    for(i = 1; i <= n; i++)
        d[i][0] = a[1][i];
    for(i = 1; i <= n; i++){
        for(j = 1; j <= k; j++){
            for(int h = 1; h < i; h++){ //最后一个乘号填在第h个数后面 
                d[i][j] = max(d[i][j], d[h][j-1]*a[h+1][i]);
            }
        }
    }
    cout<<d[n][k]<<endl;
     return 0;
}

备注：要注意字符串输入肯定下标是从0开始的！但一般我们用下标从1开始来存有很多便利之处，比如说预处理a[i][j]时要用到a[i][j-1]，所以numc转换为num时要注意下标-1. 另外就是a[i][j]再处理的话j要从i开始循环，递推公式也还有点巧妙。

边界条件别忘了。没有乘号的时候d[i][0]就是数字串本身。

转移方程

d[i][j] = max(d[i][j], d[h][j-1]*a[h+1][i]);

表示考虑在前i个数字组成的数串中添加j个乘号，那么我们就枚举最后一个乘号的位置，假如说最后一个乘号添加在第h个数后面，那么最右面的数字就是a[h+1][i]，前面剩下的就是d[h][j-1]，因为少了个乘号。 要注意的就是a[i][j]表示i到j的数字组成的数串的值，而d[i][j]里的i表示的是前i个字符。