函数的奇偶性

• $\color{red}{函数奇偶性}$

1、直接给出；如函数在某区间是奇函数

2、以定义式给出；如\(\forall x \in D，f(-x)= - f(x)\)，则它是奇函数。

3、定义的变形式给出；如\(\forall x \in D，f(-x)+ f(x)=0\)，\(\cfrac{f(-x)}{f(x)}=\pm 1(f(x)\neq0)\).

4、以图像的形式给出；比如某函数图像关于原点对称，某函数图像关于\(y\)轴对称。

5、在公共定义域上，\(“奇+奇”\)是奇，\(“奇-奇”\)是奇，\(“奇\cdot奇”\)是偶，\(“奇÷奇”\)是偶；

\(“偶+偶”\)是偶，\(“偶-偶”\)是偶，\(“偶\cdot 偶”\)是偶，\(“偶÷偶”\)是偶；

\(“奇\cdot偶”\)是奇，\(“奇÷偶”\)是奇；

如\(f(x)\)为偶函数，则可知函数\(g(x)=xf(x)\)为奇函数。

6、以图像变换为依托给出，如\(f(x-1)\)的对称轴是\(x=1\)，则可知\(f(x)\)的对称轴是\(y\)轴，即\(f(x)\)是偶函数；

7、以周期性和对称性结合给出奇偶性；如，已知函数\(f(x)\)的周期是2，且满足\(f(2+x)=f(-x)\)，具体变形见下面

8、结合赋值法给出；已知函数\(f(x)\)满足\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，且\(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\)，令\(x=y=0\)，则有\(2f(0)=2f^2(0)\)，得到\(f(0)=0或f(0)=1\)；再令\(x=1，y=0\)，则有\(2f(1)=2f(1)f(0)\)，得到\(f(0)=1\)；又题目已知\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)

若令\(x=0\)，则得到\(f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)\)，所以\(f(-y)=f(y)\)，可知函数是偶函数。

9、构造函数\(g(x)=f(x)-\cfrac{1}{2}x^2\)，从简原则，我们不需要构造\(\cfrac{1}{2}x^2+C\)；

则在\((0，+\infty)\)上\(g'(x)=f'(x)-x<0\)，\(g(x)\)单调递减，

又由于\(f(-x)+f(x)=x^2\)，改写为\(f(-x)-\cfrac{1}{2}(-x)^2+f(x)-\cfrac{1}{2}(x)^2=0\)，即就是\(g(-x)+g(x)=0\)，

即函数\(g(x)\)为定义在\(R\)上的奇函数，