行化简与阶梯型矩阵

• 矩阵中的非零行或列是指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列.
• 非零行的先导元素是指改行中最左边的非零元素.

阶梯形矩阵

1. 阶梯形矩阵满足以下三个性质
   • 每一非零行在每一零行之上.
   • 每一行先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边.
   • 某一先导元素所在列的下方全为0.(上一性质的推论).

简化阶梯型

1. 在阶梯型矩阵的基础上,满足以下条件

   • 每一非零行的先导元素为1.
   • 每一先导元素1是该行所在列的唯一非零元素.

• 一个矩阵可以行化简为不同的阶梯型矩阵,但是只能行化简为唯一的简化阶梯型矩阵.

定理1

• 每个矩阵都行等价于唯一的简化阶梯型矩阵.
• 矩阵的主元位置是矩阵A中对应与他的阶梯形中,先导元素的位置,主元列是A的含有主元位置的列.
• 用不同的行变换可以产生不同的主元,为方便起见,常把矩阵的各行乘以一个数,使其先导元素变为1.

行化简算法

• 由最左的非零列开始,这是一个主元列,主元位置在该列顶端.
• 主元列中选择一个非零元作为主元,若有必要,对换两行,是这个元素移动到主元位置上.
• 用倍加行变换将主元下面的元素变换为0.
• 暂时不管包含主元位置的行及它上面的行,对剩下的子矩阵使用前三个步骤,直到没有非零行需要处理为止.
• 以上四步,称为向前步骤.
• 由最右边的主元行开始,将每个主元的上方向各元素变为0,若某个主元不是1,用行倍乘将其变为1,这一步成为向后步骤.

线性方程组求解

• 计算机程序通常选择一列中绝对值最大的元素作为主元,这种方法成为部分主元法.
• 行化简算法应用于方程组的增广矩阵时,可以得出一组线性方程组解集的显式表示法.
• 对应于主元列的变量成为基本变量,无主元的列对应的变量称为自由变量.
• 以方程组的简化形式得出的解集,以自由变量表示基本变量,这被称为方程组的通解.
• 强烈建议使用简化阶梯行来解方程组.
• 对于一个n*(n+1)的增广矩阵,化为阶梯型大约需要次浮点算法,而进一步化为简化阶梯型,大约最多只需要次算法.在Matlab中,使用flops算子可以计算简化阶梯型化简的时机浮点运算次数.

存在与唯一性定理

• 线性方程组相容的充要条件是,增广矩阵的最右列不是主元列,也就是说,增广矩阵的阶梯型没有型如,B != 0的行.
• 若线性方程组相容,则解集在无自由变量的情况下,有唯一解,有自由变量的情况下,有无穷多解.

小结

• 介绍怎样用最简阶梯型求方程的解.
• 最简阶梯形,可以判定方程是否有解.
• 进一步,自由变量的数目,可以判定方程有唯一解还是无穷多解.