机器学习所需数学知识

数学

1.列举常用的最优化方法

梯度下降法

牛顿法，

拟牛顿法

坐标下降法

梯度下降法的改进型如AdaDelta，AdaGrad，Adam，NAG等。

2.梯度下降法的关键点

梯度下降法沿着梯度的反方向进行搜索，利用了函数的一阶导数信息。梯度下降法的迭代公式为：

根据函数的一阶泰勒展开，在负梯度方向，函数值是下降的。只要学习率设置的足够小，并且没有到达梯度为0的点处，每次迭代时函数值一定会下降。需要设置学习率为一个非常小的正数的原因是要保证迭代之后的xk+1位于迭代之前的值xk的邻域内，从而可以忽略泰勒展开中的高次项，保证迭代时函数值下降。

梯度下降法只能保证找到梯度为0的点，不能保证找到极小值点。迭代终止的判定依据是梯度值充分接近于0，或者达到最大指定迭代次数。

梯度下降法在机器学习中应用广泛，尤其是在深度学习中。AdaDelta，AdaGrad，Adam，NAG等改进的梯度下降法都是用梯度构造更新项，区别在于更新项的构造方式不同。

3.牛顿法的关键点

牛顿法利用了函数的一阶和二阶导数信息，直接寻找梯度为0的点。牛顿法的迭代公式为：

其中H为Hessian矩阵，g为梯度向量。牛顿法不能保证每次迭代时函数值下降，也不能保证收敛到极小值点。在实现时，也需要设置学习率，原因和梯度下降法相同，是为了能够忽略泰勒展开中的高阶项。学习率的设置通常采用直线搜索（line search）技术。

在实现时，一般不直接求Hessian矩阵的逆矩阵，而是求解下面的线性方程组：

其解d称为牛顿方向。迭代终止的判定依据是梯度值充分接近于0，或者达到最大指定迭代次数。

牛顿法比梯度下降法有更快的收敛速度，但每次迭代时需要计算Hessian矩阵，并求解一个线性方程组，运算量大。另外，如果Hessian矩阵不可逆，则这种方法失效。

4.拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是一个理论结果，用于求解带有等式约束的函数极值。对于如下问题：

构造拉格朗日乘子函数：

在最优点处对x和乘子变量的导数都必须为0：

解这个方程即可得到最优解。对拉格朗日乘数法更详细的讲解可以阅读任何一本高等数学教材。机器学习中用到拉格朗日乘数法的地方有：

主成分分析

线性判别分析

流形学习中的拉普拉斯特征映射

隐马尔科夫模型

5.凸优化

数值优化算法面临两个方面的问题：局部极值，鞍点。前者是梯度为0的点，也是极值点，但不是全局极小值；后者连局部极值都不是，在鞍点处Hessian矩阵不定，即既非正定，也非负定。

凸优化通过对目标函数，优化变量的可行域进行限定，可以保证不会遇到上面两个问题。凸优化是一类特殊的优化问题，它要求：

优化变量的可行域是一个凸集目标函数是一个凸函数

凸优化最好的一个性质是：所有局部最优解一定是全局最优解。

机器学习中典型的凸优化问题有：

线性回归

岭回归

LASSO回归

Logistic回归

支持向量机

Softamx回归

6.拉格朗日对偶

对偶是最优化方法里的一种方法，它将一个最优化问题转换成另外一个问题，二者是等价的。拉格朗日对偶是其中的典型例子。对于如下带等式约束和不等式约束的优化问题：

与拉格朗日乘数法类似，构造广义拉格朗日函数：

必须满足

的约束。原问题为：

即先固定住x，调整拉格朗日乘子变量，让函数L取极大值；然后控制变量x，让目标函数取极小值。原问题与我们要优化的原始问题是等价的。

对偶问题为：

和原问题相反，这里是先控制变量x，让函数L取极小值；然后控制拉格朗日乘子变量，让函数取极大值。

一般情况下，原问题的最优解大于等于对偶问题的最优解，这称为弱对偶。在某些情况下，原问题的最优解和对偶问题的最优解相等，这称为强对偶。

强对偶成立的一种条件是Slater条件：一个凸优化问题如果存在一个候选x使得所有不等式约束都是严格满足的，即对于所有的i都有gi (x)<0，不等式不取等号，则强对偶成立，原问题与对偶问题等价。注意，Slater条件是强对偶成立的充分条件而非必要条件。

拉格朗日对偶在机器学习中的典型应用是支持向量机。

7.KKT条件

KKT条件是拉格朗日乘数法的推广，用于求解既带有等式约束，又带有不等式约束的函数极值。对于如下优化问题：

和拉格朗日对偶的做法类似，KKT条件构如下乘子函数：

和

称为KKT乘子。在最优解处

应该满足如下条件：

等式约束

和不等式约束

是本身应该满足的约束，

和之前的拉格朗日乘数法一样。唯一多了关于gi (x)的条件：

KKT条件只是取得极值的必要条件而不是充分条件。

8.特征值与特征向量

对于一个n阶矩阵A，如果存在一个数

和一个非0向量X，满足：

则称

为矩阵A的特征值，X为该特征值对应的特征向量。根据上面的定义有下面线性方程组成立：

根据线性方程组的理论，要让齐次方程有非0解，系数矩阵的行列式必须为0，即：

上式左边的多项式称为矩阵的特征多项式。矩阵的迹定义为主对角线元素之和：

根据韦达定理，矩阵所有特征值的和为矩阵的迹：

同样可以证明，矩阵所有特征值的积为矩阵的行列式：

利用特征值和特征向量，可以将矩阵对角化，即用正交变换将矩阵化为对角阵。实对称矩阵一定可以对角化，半正定矩阵的特征值都大于等于0，在机器学习中，很多矩阵都满足这些条件。特征值和特征向量在机器学习中的应用包括：正态贝叶斯分类器、主成分分析，流形学习，线性判别分析，谱聚类等。

9.奇异值分解

矩阵对角化只适用于方阵，如果不是方阵也可以进行类似的分解，这就是奇异值分解，简称SVD。假设A是一个m x n的矩阵，则存在如下分解：

其中U为m x m的正交矩阵，其列称为矩阵A的左奇异向量；

为m x n的对角矩阵，除了主对角线

以外，其他元素都是0；V为n x n的正交矩阵，其行称为矩阵A的右奇异向量。U的列为AAT的特征向量，V的列为AT A的特征向量。

10.最大似然估计

有些应用中已知样本服从的概率分布，但是要估计分布函数的参数

，确定这些参数常用的一种方法是最大似然估计。

最大似然估计构造一个似然函数，通过让似然函数最大化，求解出

。最大似然估计的直观解释是，寻求一组参数，使得给定的样本集出现的概率最大。

假设样本服从的概率密度函数为

，其中X为随机变量，

为要估计的参数。给定一组样本xi,i =1,...,l，它们都服从这种分布，并且相互独立。最大似然估计构造如下似然函数：

其中xi是已知量，这是一个关于

的函数，我们要让该函数的值最大化，这样做的依据是这组样本发生了，因此应该最大化它们发生的概率，即似然函数。这就是求解如下最优化问题：

乘积求导不易处理，因此我们对该函数取对数，得到对数似然函数：

最后要求解的问题为：

最大似然估计在机器学习中的典型应用包括logistic回归，贝叶斯分类器，隐马尔科夫模型等。