前端学算法之算法模式

前面的话

本文将详细介绍算法模式，包括递归、动态规划和贪心算法

递归

递归是一种解决问题的方法，它解决问题的各个小部分，直到解决最初的大问题。通常涉及函数调用自身

能够像下面这样直接调用自身的方法或函数，是递归函数：

var recursiveFunction = function(someParam){ 
  recursiveFunction(someParam);
};

能够像下面这样间接调用自身的函数，也是递归函数：

var recursiveFunction1 = function(someParam){ 
  recursiveFunction2(someParam);
};
var recursiveFunction2 = function(someParam){ 
  recursiveFunction1(someParam);
};

假设现在必须要执行recursiveFunction，结果是什么？单单就上述情况而言，它会一直执行下去。因此，每个递归函数都必须要有边界条件，即一个不再递归调用的条件（停止点）， 以防止无限递归

【JavaScript调用栈大小的限制】

如果忘记加上用以停止函数递归调用的边界条件，会发生什么呢？递归并不会无限地执行下去；浏览器会抛出错误，也就是所谓的栈溢出错误（stack overflow error）

每个浏览器都有自己的上限，可用以下代码测试：

var i = ;
function recursiveFn () { 
  i++;
  recursiveFn();
}
try { 
  recursiveFn();
} catch (ex) {
  alert('i = ' + i + ' error: ' + ex);
}

在Chrome中，这个函数执行了15699次，而后浏览器抛出错误RangeError: Maximum call stack size exceeded（超限错误：超过最大调用栈大小）

ECMAScript 6有尾调用优化（tail call optimization）。如果函数内最后一个操作是调用函数，会通过“跳转指令”（jump） 而不是“子程序调用”（subroutine call）来控制。也就是说，在ECMAScript 6中，这里的代码可以一直执行下去。所以，具有停止递归的边界条件非常重要

【斐波那契数列】

斐波那契数列的定义如下：

1、1和2的斐波那契数是 1；

2、n（n>2）的斐波那契数是(n-1)的斐波那契数加上(n-2)的斐波那契数

下面来实现斐波那契函数

function fibonacci(num){
  if (num ===  || num === ){ 
    return ;
  }
  return fibonacci(num - ) + fibonacci(num - );
}

我们已经知道，当n大于2时，Fibonacci(n)等于Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2)。现在，斐波那契函数实现完毕。试着找出6的斐波那契数，其会产生如下函数调用：

也可以用非递归的方式实现斐波那契函数：

function fib(num){
 var n1 = ,
    n2 = ,
    n = ;
 for (var i = ; i<=num; i++){
  n = n1 + n2;
  n1 = n2;
  n2 = n;
 }
 return n;
}

为何用递归呢？更快吗？递归并不比普通版本更快，反倒更慢。但要知道，递归更容易理解，并且它所需的代码量更少。所以，用递归通常是因为它更容易解决问题

动态规划

动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种将复杂问题分解成更小的子问题来解决的优化技术

动态规划和分而治之（归并排序和快速排序算法中用到的那种）是不同的方法。分而治之方法是把问题分解成相互独立的子问题，然后组合它们的答案，而动态规划则是将问题分解成相互依赖的子问题

用动态规划解决问题时，要遵循三个重要步骤：

1、定义子问题

2、实现要反复执行而解决子问题的部分

3、识别并求解出边界条件。

能用动态规划解决的一些著名的问题如下

1、背包问题：给出一组项目，各自有值和容量，目标是找出总值最大的项目的集合。这个问题的限制是，总容量必须小于等于“背包”的容量

2、最长公共子序列：找出一组序列的最长公共子序列（可由另一序列删除元素但不改变余下元素的顺序而得到）

3、矩阵链相乘：给出一系列矩阵，目标是找到这些矩阵相乘的最高效办法（计算次数尽可能少）。相乘操作不会进行，解决方案是找到这些矩阵各自相乘的顺序

4、硬币找零：给出面额为d1…dn的一定数量的硬币和要找零的钱数，找出有多少种找零的方法

5、图的全源最短路径：对所有顶点对(u, v)，找出从顶点u到顶点v的最短路径

【最少硬币找零问题】

最少硬币找零问题是硬币找零问题的一个变种。硬币找零问题是给出要找零的钱数，以及可用的硬币面额d1…dn及其数量，找出有多少种找零方法。最少硬币找零问题是给出要找零的钱数，以及可用的硬币面额d1…dn及其数量，找到所需的最少的硬币个数

例如，有以下面额（硬币）：d1=1，d2=5，d3=10，d4=25。如果要找36美分的零钱，可以用1个25美分、1个10美分和1个便士（1美分）。如何将这个解答转化成算法？最少硬币找零的解决方案是找到n所需的最小硬币数。但要做到这一点，首先得找到对每个x<n的解。然后，我们将解建立在更小的值的解的基础上

来看看算法：

function MinCoinChange(coins){

    var cache = {};

    this.makeChange = function(amount) {
        var me = this;
        if (!amount) {
            return [];
        }
        if (cache[amount]) {
            return cache[amount];
        }
        var min = [], newMin, newAmount;
        for (var i=; i<coins.length; i++){
            var coin = coins[i];
            newAmount = amount - coin;
            if (newAmount >= ){
                newMin = me.makeChange(newAmount);
            }
            if (
                newAmount >=  &&
                (newMin.length < min.length- || !min.length) &&
                (newMin.length || !newAmount)
                ){
                min = [coin].concat(newMin);
                console.log('new Min ' + min + ' for ' + amount);
            }
        }
        return (cache[amount] = min);
    };
}

为了更有条理，创建了一个类，解决给定面额的最少硬币找零问题

MinCoinChange类接收coins参数（行{1}），代表问题中的面额。对美国的硬币系统而言，它是[1, 5, 10, 25]。我们可以随心所欲传递任何面额。此外，为了更加高效且不重复计算值，我们使用了cache（行{2}）。

接下来是makeChange方法，它也是一个递归函数，找零问题由它解决。首先，若amount不为正（< 0），就返回空数组（行{3}）；方法执行结束后，会返回一个数组，包含用来找零的各个面额的硬币数量（最少硬币数）。接着，检查cache缓存。若结果已缓存（行{4}），则直接返回结果；否则，执行算法。

我们基于coins参数（面额）解决问题。因此，对每个面额（行{5}），我们都计算newAmount（行{6}）的值，它的值会一直减小，直到能找零的最小钱数（别忘了本算法对所有的x < amount都会计算makeChange结果）。若newAmount是合理的值（正值），我们也会计算它的找零结果（行{7}）

最后，我们判断newAmount是否有效，minValue （最少硬币数）是否是最优解，与此同时minValue和newAmount是否是合理的值（{行10}）。若以上判断都成立，意味着有一个比之前更优的答案（行{11}，以5美分为例，可以给5便士或者1个5美分镍币，1个5美分镍币是最优解）。 最后，返回最终结果（行{12}）

测试一下这个算法：

var minCoinChange = new MinCoinChange([1, 5, 10, 25]); 
console.log(minCoinChange.makeChange(36));

要知道，如果我们检查cache变量，会发现它存储了从1到36美分的所有结果。以上代码的结果是[1, 10, 25]

【背包问题】

背包问题是一个组合优化问题。它可以描述如下：给定一个固定大小、能够携重W的背包，以及一组有价值和重量的物品，找出一个最佳解决方案，使得装入背包的物品总重量不超过W，且总价值最大

下面是一个例子：

物品 重量   价值

考虑背包能够携带的重量只有5。对于这个例子，我们可以说最佳解决方案是往背包里装入物品1和物品2，这样，总重量为5，总价值为7。

来看看背包算法：

function knapSack(capacity, weights, values, n) {
    var i, w, a, b, kS = [];
    for (i = ; i <= n; i++) {
        kS[i] = [];
    }
    for (i = ; i <= n; i++){
        for (w = ; w <= capacity; w++){
            if (i ==  || w == ){
                kS[i][w] = ;
            } else if (weights[i-] <= w){
                a = values[i-] + kS[i-][w-weights[i-]];
                b = kS[i-][w];
                kS[i][w] = (a > b) ? a : b; //max(a,b)
                console.log(a + ' can be part of the solution');
            } else{
                kS[i][w] = kS[i-][w];
            }
        }
        console.log(kS[i].join());
    }
    return kS[n][capacity];
}

来看看这个算法是如何工作的。

行{1}：首先，初始化将用于寻找解决方案的矩阵ks[n+1][capacity+1]

行{2}：忽略矩阵的第一列和第一行，只处理索引不为0的列和行。

行{3}：物品i的重量必须小于约束（capacity）才有可能成为解决方案的一部分；否则，总重量就会超出背包能够携带的重量，这是不可能发生的。发生这种情况时，只要忽略它，用之前的值就可以了（行{5}）。

行{4}：当找到可以构成解决方案的物品时，选择价值大的那个。

行{6}：最后，问题的解决方案就在这个二维表格右下角的后一个格子里

可以用开头的例子来测试这个算法：

var values = [, , ],   
    weights = [, , ],   
    capacity = ,   
    n = values.length; 
    console.log(knapSack(capacity, weights, values, n)); //输出 7

下图举例说明了例子中kS矩阵的构造：

这个算法只输出背包携带物品价值的大值，而不列出实际的物品。我们可以增加下面的附加函数来找出构成解决方案的物品：

function findValues(n, capacity, kS, weights, values){
    var i=n, k=capacity;
    console.log('Items that are part of the solution:');
    while (i> && k>){
        if (kS[i][k] !== kS[i-][k]){
            console.log('item '+i+' can be part of solution w,v: ' + weights[i-] + ',' + values[i-]);
            i--;
            k = k - kS[i][k];
        } else {
            i--;
        }
    }
}

可以在knapsack函数的行{6}之前调用这个函数。执行完整的算法，会得到如下输出：

解决方案包含以下物品：
物品2，重量：4，价值：3
物品1，重量：3，价值：2
总价值：7

【最长公共子序列（LCS）】

另一个经常被当作编程挑战问题的动态规划问题是最长公共子序列（LCS）：找出两个字符串序列的长子序列的长度。长子序列是指，在两个字符串序列中以相同顺序出现，但不要求连续（非字符串子串）的字符串序列。

考虑如下例子：

再看看下面这个算法：

function lcs2(wordX, wordY) {
    var m = wordX.length,
        n = wordY.length,
        l = [],
        solution = [],
        i, j, a, b;
    for (i = ; i <= m; ++i) {
        l[i] = [];
        solution[i] = [];
        for (j = ; j <= n; ++j) {
            l[i][j] = ;
            solution[i][j] = '';
        }
    }
    for (i=; i<=m; i++) {
        for (j=; j<=n; j++) {
            if (i ==  || j == ){
                l[i][j] = ;
            } else if (wordX[i-] == wordY[j-]) {
                l[i][j] = l[i-][j-] + ;
                solution[i][j] = 'diagonal';
            } else {
                a = l[i-][j];
                b = l[i][j-];
                l[i][j] = (a > b) ? a : b; //max(a,b)

                solution[i][j] = (l[i][j] == l[i - ][j]) ? 'top' : 'left';
            }
        }
        console.log(l[i].join());
        console.log(solution[i].join());
    }
    printSolution(solution, l, wordX, wordY, m, n);
    return l[m][n];
}

function printSolution(solution, l, wordX, wordY, m, n){
    var a = m, b = n, i, j,
        x = solution[a][b],
        answer = '';
    while (x !== '') {
        if (solution[a][b] === 'diagonal') {
            answer = wordX[a - ] + answer;
            a--;
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'left') {
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'top') {
            a--;
        }
        x = solution[a][b];
    }
    console.log('lcs: '+ answer);
}

如果用'acbaed'和'abcadf'两个字符串执行上面的算法，我们将得到输出4。用于构建结果的矩阵l看起来像下面这样。我们也可以用附加的算法来跟踪LCS的值

通过上面的矩阵，我们知道LCS算法的结果是长度为4的acad

【矩阵链相乘】

矩阵链相乘是另一个可以用动态规划解决的著名问题。这个问题是要找出一组矩阵相乘的最佳方式（顺序）

n行m列的矩阵A和m行p列的矩阵B相乘，结果是n行p列的矩阵C

考虑我们想做A*B*C*D的乘法。因为乘法满足结合律，所以我们可以让这些矩阵以任意顺序相乘。因此，考虑如下情况：

A是一个10行100列的矩阵 
B是一个100行5列的矩阵 
C是一个5行50列的矩阵
D是一个50行1列的矩阵
A*B*C*D的结果是一个10行1列的矩阵

在这个例子里，相乘的方式有五种

1、(A(B(CD)))：乘法运算的次数是1750次

2、((AB)(CD))：乘法运算的次数是5300次

3、(((AB)C)D)：乘法运算的次数是8000次

4、((A(BC))D)：乘法运算的次数是75 500次。

5、(A((BC)D))：乘法运算的次数是31 000次

相乘的顺序不一样，要进行的乘法运算总数也有很大差异。那么，要如何构建一个算法，求出少的乘法运算操作次数？矩阵链相乘的算法如下：

function matrixChainOrder(p, n) {

    var i, j, k, l, q,
        m = [], s=[];

    for (i = ; i <= n; i++){
        m[i] = [];
        m[i][i] = ;

    }

    for (i = ; i <= n; i++){ //to help printing the optimal solution
        s[i] = []; //auxiliary
        for (j=; j<=n; j++){
            s[i][j] = ;
        }
    }

    for (l=; l<n; l++) {
        for (i=; i<=n-l+; i++) {
            j = i+l-;
            m[i][j] = Number.MAX_SAFE_INTEGER;
            for (k=i; k<=j-; k++) {
                // q = cost/scalar multiplications
                q = m[i][k] + m[k+][j] + p[i-]*p[k]*p[j]; //{1}
                if (q < m[i][j]){
                    m[i][j] = q;
                    s[i][j]=k; // s[i,j] = Second auxiliary table that stores k
                }
            }
        }
    }

    console.log(m);
    console.log(s);

    printOptimalParenthesis(s, , n-);

    return m[][n-];
}

function printOptimalParenthesis(s, i, j){
    if(i == j) {
        console.log("A[" + i + "]");
    } else {
        console.log("(");
        printOptimalParenthesis(s, i, s[i][j]);
        printOptimalParenthesis(s, s[i][j] + , j);
        console.log(")");
    }
}

整个算法中重要的是行{1}，神奇之处全都在这一行。它计算了给定括号顺序的乘法运算次数，并将值保存在辅助矩阵m中

执行修改后的算法，也能得到括号的最佳顺序(A[1](A[2](A[3]A[4])))，并可以转化为 (A(B(CD)))

贪心算法

贪心算法遵循一种近似解决问题的技术，期盼通过每个阶段的局部最优选择（当前好的解），从而达到全局的最优（全局最优解）。它不像动态规划算法那样计算更大的格局

【最少硬币找零问题】

最少硬币找零问题也能用贪心算法解决。大部分情况下的结果是最优的，不过对有些面额而言，结果不会是优的

function MinCoinChange(coins){
 var coins = coins; //{1}
 this.makeChange = function(amount) {
  var change = [],
      total = ;
  for (var i=coins.length; i>=; i--){ //{2}
    var coin = coins[i];
    while (total + coin <= amount) { //{3}
      change.push(coin); //{4}
      total += coin; //{5}
    }
  }
  return change;
 };
}

和动态规划方法相似， 我们传递面额参数，实例化MinCoinChange（行{1}）。对每个面额（行{2}——从大到小），把它的值和total相加后，total需要小于amount（行{3}）。我们会将当前面额coin添加到结果中（行{4}），也会将它和total相加（行{5}）

这个解法很简单。从大面额的硬币开始，拿尽可能多的这种硬币找零。当无法再拿更多这种价值的硬币时，开始拿第二大价值的硬币，依次继续

用和DP方法同样的测试代码测试：

var minCoinChange = new MinCoinChange([1, 5, 10, 25]);
console.log(minCoinChange.makeChange(36));

结果依然是[25, 10, 1]，和用DP得到的一样。下图阐释了算法的执行过程：

然而，如果用[1, 3, 4]面额执行贪心算法，会得到结果[4, 1, 1]。如果用动态规划的解法，会得到优的结果[3, 3]

比起动态规划算法而言，贪心算法更简单、更快。然而，如我们所见，它并不总是得到优答案。但是综合来看，它相对执行时间来说，输出了一个可以接受的解

【分数背包问题】

求解分数背包问题的算法与动态规划版本稍有不同。在0-1背包问题中，只能向背包里装入完整的物品，而在分数背包问题中，我们可以装入分数的物品。我们用前面用过的例子来比较两者的差异，如下所示：

物品 重量   价值

在动态规划的例子里，考虑背包能够携带的重量只有5。而在这个例子里，我们可以说最佳解决方案是往背包里装入物品1和物品2，总重量为5，总价值为7

如果在分数背包问题中考虑相同的容量，得到的结果是一样的。因此，我们考虑容量为6的情况

在这种情况下，解决方案是装入物品1和物品2，还有25%的物品3。这样，重量为6的物品总价值为8.25

function knapSack(capacity, values, weights) {
 var n = values.length,
      load = , i = , val = ;
 for (i = ; i < n && load < capacity; i++) { //{1}
  if (weights[i] <= (capacity - load)) { //{2}
    val += values[i];
    load += weights[i];
  } else {
    var r = (capacity - load) / weights[i]; //{3}
    val += r * values[i];
    load += weights[i];
  }
 }
 return w;
}

行{1}：总重量少于背包容量，继续迭代，装入物品

行{2}：如果物品可以完整地装入背包，就将其价值和重量分别计入背包已装入物品的总价值（val）和总重量（load）

行{3}：如果物品不能完整地装入背包，计算能够装入部分的比例（r）

如果在0-1背包问题中考虑同样的容量6，我们就会看到，物品1和物品3组成了解决方案。在这种情况下，对同一个问题应用不同的解决方法，会得到两种不同的结果