入门神经网络-Python 实现(下)

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紧接着上篇, 整到了, MES的公式和代码的实现.

\(MSE = \frac {1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (y_i - \hat y_i)^2\)

n 表示样本数, 这里为 4

y 表示要预测的变量, 这里是 性别

训练的约束, 就是使得 MSE 的值尽可能小. -> 求解参数

MSE 的工作机制, 举个栗子, 假设网络的纵输出是 0, 也就是预测所有的 小伙伴都是 妹子.

\(MSE = \frac {1}{4} (1 + 1 + 0 + 1) = 0.5\)

BP算法本质 - 求导链式法则

现在继续...

始终要明确我们的目标: 最小化神经网络的损失 这个损失呢, 本质也就是一个关于 权重和偏置 的函数

如图所示:

则本例的损失函数可以这样参数化表示为:

\(L(w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, b1, b_2, b_3)\)

现在来考虑对 w 进行优化, 假设要优化 \(w_1\) (即当 \(w_1\) 变化时, L 会如何变化), 也就是: \(\frac {\partial L}{\partial w_1}\)

为了简化一波问题, 假设数据集中就只有一个兄弟.

则此时的 MSE = \((y_1 -\hat y_1)^2 = (1- \hat y_1)^2\)

要计算 \(\frac {\partial L}{\partial w_1}\) 根据网络的 反向 方向 (输出 -> 输入), 对应选取相应的中间变量, 这样能求出来呀. 根据求导链式法则:

\(\frac {\partial L}{\partial w_1} = \frac {\partial L}{\partial \hat y_1} * \frac {\partial \hat y_1}{\partial w_1}\)

由本例数据, 已知 \(L = (1- \hat y_1)^2\) , 上面公式的第一部分就可以求出来了:

\(\frac {\partial L} {\partial y_1} = \frac {\partial (1- \hat y_1)^2} {\partial y_1} = -2(1- \hat y_1)\)

然后是 第二部分 \(\frac {\partial \hat y_1}{\partial w_1}\) 观察图中的相关变量, 可看到 \(h_1, h_2, o_1\) 分别表示该神经元的输出, 即:

\(\hat y_1 = o_1 = f(w_5 h_1 + w_6 h_2 + b_3)\)

继续向后传播....

而我们关心的是 \(w_1\) , 看图中的线路就可知, w1 跟 h2 是没有关系的, 只跟 h1有关, 于是, 再来一波 求导链式法则

$\frac {\partial \hat y_1}{\partial w_1} = \frac {\partial \hat y_1} {\partial h_1} * \frac {\partial h_1}{\partial w_1} $

同样套路, 第一部分

\(\frac {\partial \hat y_1} {\partial h_1} = \frac {f(w_5h_1 + w_6h2 + b_3)} {\partial h_1} = w_5 * [f'(w_5h_1 + w_6h2+b_3)]\)

\(f'(w_5h_1 + w_6h2+b_3)\) 这个其实就 看作 f(x), 里面不论多少项, 都是该 函数的自变量取值而已呀.

对 第二部分 也是一样滴处理

$\frac {\partial h_1}{\partial w_1} = \frac {f(w_1 x_1 + w_2 x_2 + b_1)} {\partial w_1} = w_1 * [f‘(w_1x_1 +w_2 x_2 + b_1)] $

终于走到输入值啦, 本例这里的 x_1 是身高, x_2 是体重. 这里的 f(x) 就是咱的 激活函数 (映射实值到0-1)

\(f(x) = \frac {1}{1+e^{-x}}\)

之前推导 逻辑回归的时候, 也是用的这个函数哦, 当时有个技巧点是, 其求导为: \(f(x)' = f(x)(1-f(x))\)

利用 分式 求导法则:

\(f(x)' = \frac {0 - (-e^{-x)}}{(1+e^{-x})^2}\)

\(= \frac {1}{1+e^{-x}} * \frac {e^{-x}}{1+e^{-x}}\)

\(=f(x)(1-f(x))\)

这个结果在推导逻辑回归的时候, 非常重要的哦, 求一阶导和二阶导都要用到

小结上边的一波操作, 其实就是一个 求导的链式法则:

\(\frac {\partial L}{\partial w_1} = \frac {\partial L}{\partial \hat y_1} * \frac {\partial \hat y_1}{\partial h_1} * \frac {\partial h_1}{\partial w_1}\)

从网络的方向上来看呢, 是从 output -> input 这样的 反向 误差传递, 这其实就是咱平时说的 BP算法, 而核心就是求导的链式法则而已呀.

所以嘛, 神经网络很多名词, 就是为了唬人, 当你扒开一看, 哦哦, 原来都只是用到一些 基础的数学知识而已

case1: 计算偏导数(Link Rule)

输入(已中心化):

输出比较

同样, 为计算更加方便, 假设所有的 权重 为1, 所有的偏置为 0

图

\(h_1 = f(w_1 x_1 + w_2 x_2 + b_1)\)

\(= f(-2 + 5 + 0)\)

\(=f(3) = 0.952\)

继续,

\(h_2 = f(w_3x_1 + w_4 x_2 + b_2)\)

\(= f(-2 + 5 + 0) = h_1 = 0.952\)

继续,

\(o_1 = f(w_5h_1 + w_6h_2 + b3)\)

\(=f(0.952 + 0.952 + 0) = 0.721\)

停一波, 代码先缓一缓, 先检查下有没有bug.