逻辑回归的原理和python实现

输入

　　鸢尾花卉数据集,数据集包含150个数据样本，分为3类，每类50个数据，每个数据包含4个属性。

输出

　　根据手动实现的逻辑回归模型对鸢尾花卉数据集分类的预测结果。

原理

　　逻辑回归处理的是分类问题，线性回归处理的是回归问题，这是两者最本质的区别。逻辑回归算法是一种分类算法，适用于标签取值离散的情况。

　　逻辑回归的模型为：

　　其中，代表特征向量，代表逻辑函数，一个常用的逻辑函数公式为：

　　该函数的图像为：

　　通过公式和图像，我们可以总结下的作用：对于给定的输入变量，根据选择的参数计算输出变量等于1的概率，即，比如给定的变量，通过给定的参数计算得到 = 0.7，则表示有70%的几率输出变量为正向类，30%的几率为负向类。

　　在逻辑回归中，当时，预测y=1，当时，预测y=0。而这两种情况分别对应、，在几何上意味着是真正意义上的分界边界函数，常见的比如：（线性分界函数）、（二次分界函数）。在实际的业务场景中，可以选择复杂的分界函数来处理数据。

当分解函数选定之后，有一个非常重要的操作是确定逻辑回归模型的参数，按照机器学习的思路，我们要定义代价函数，通过梯度下降法更新参数，最小化代价函数来得到参数。

在线性回归模型中，采用的代价函数为所有样本误差的平方和，那是因为此时的代价函数是凸函数，一定会得到一个最小值。如果逻辑回归模型采用所有样本误差的平方和作为代价函数，那么得到的代价函数是非凸的，非凸函数有很多的极小值点，影响梯度下降法寻找全局最小值。

根据逻辑回归处理的分类问题本质上只有正、负样本的特性，我们定义逻辑回归的代价函数为：

其中，，其实这么定义也比较容易理解，比如对于一个y=1的正样本，由于是一个在作用域(0,1]上从正无穷大递减至0的函数，如果sigmoid函数模型预测的概率比较小，接近于0，预测为负样本，那么代价函数值就比较大，如果sigmoid函数模型预测的概率比较大，接近于1，预测为正样本，那么代价就比较小，如果概率为1的话，代价函数值就为0了，这不就刚好是我们想要的吗？同理可理解对于y=0时采用的代价函数。

我们将代价函数整理如下：

针对每个求偏导得到：

　　有了偏导之后，就可以更新参数：

在训练的过程中，有可能遇到到过拟合的问题，我们可以使用正则化的技术来较少过拟合的影响，我们对参数做适当的惩罚，优化代价函数为：

这里注意到，我们一般不对做惩罚。

　　同时，由于偏导有了改变，更新参数也需要对应改变：

这样我们就可以通过最小化代价函数，一步步更新参数，拟合出想要的参数了，得到一个逻辑回归分类器，但是如果我们处理的是多分类问题该怎么办呢？

　　假如我们处理的是一个三分类问题，有三个类别0，1，2。我们可以构造3个分类器：

那么如何构造这些分类器呢？我们以为例，在构造这个分类器时，标签类别为0的样本为正样本对应的y修改为1，其余的标签类别非0的样本为负样本对应的y修改为0，这样处理之后进行训练就可以得到一个可以分类0类别与非0类别的分类器了，同理另外两个分类器也可得到。

得到3个分类器后，对于一个样本而言，如何生成最终的类别呢？我们可以让三个分类器分别作用于该样本，值最大的分类器为最终的分类结果。

Python代码实现

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split

# 鸢尾花卉数据集,数据集包含150个数据样本，分为3类，每类50个数据，每个数据包含4个属性。
# 可通过花萼长度，花萼宽度，花瓣长度，花瓣宽度4个属性预测鸢尾花卉属于（Setosa，Versicolour，Virginica）三个种类中的哪一类。
iris_path = ‘./iris.csv‘
iris_data = pd.read_csv(iris_path)

# 将字符串标签映射为int
def iris_str_to_int(str):
    label = {‘setosa‘:0, ‘versicolor‘:1, ‘virginica‘:2}
    return label[str]
new_iris_data = pd.io.parsers.read_csv(iris_path, converters={4:iris_str_to_int})
data = np.array(new_iris_data)

# 对数据进行归一化
for col in range(0, len(data[0]) - 1):
    mean = np.mean(data[:, col])
    std = np.std(data[:, col])
    data[:, col] = data[:, col] - mean
    data[:, col] = data[:, col] / std

# 划分数据集,30%测试集、70%训练集,使用sklearn的train_test_split方法
x, y = np.split(data, (4,), axis=1)
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x,y,test_size = 0.3)

# sigmoid方法
def sigmoid(x):
    return 1.0/(1+np.exp(-x))

# 修改目标y值时使用的方法，因为是多分类，在训练时需要保证只有正类、负类两类
def func(value,lb):
    if any(value == lb):
        value = 1
    else:
        value = 0
    return value

# 选择线性模型(theta_0 + theta_1 * x1 + theta_2 * x2 + ...)来做逻辑回归
# 因为有三类，所以要构造3个分类器，即为h0, h1, h2
# 根据入参的标签值，来对y进行修改，
# 比方说，如果label = 0，说明这是h0分类器，那么y == 0为正样本（y值应从0修改为1)，其他非0的修改为负样本（y值应修改为0）
# 如果label = 1，说明这是h1分类器，那么y == 1为正样本（y值应从1修改为1)，其他非1的修改为负样本（y值应修改为0）
# 如果label = 2，说明这是h2分类器，那么y中2为正样本（y值应从2修改为1)，其他非2的修改为负样本（y值应修改为0）
alpha = np.random.random() #学习率
lamda = np.random.random() #正则化系数
theta = np.random.rand(5) # theta参数初始值
print(‘init alpha:{}, lamda:{}, theta:{}‘.format(alpha, lamda, theta))
def cost_line_reg(theta, x, y, label):
    theta = np.mat(theta)

    # x特征向量加一个元素x0，x0 == 1
    x_one = np.ones(x.shape[0])
    x = np.insert(x, 0, values= x_one, axis=1)
    x = np.mat(x)

    # 根据label参数指定的分类器种类，对应修改y值
    y = np.apply_along_axis(func, axis=1, arr=y, lb=label)
    y = np.mat(y)

    # 计算损失值和更新theta
    for step in range(0,100):
        first = np.multiply((-y).T, np.log(sigmoid(np.dot(x, theta.T))))
        second = np.multiply((1-y).T, np.log(1 - sigmoid(np.dot(x, theta.T))))
        reg = (lamda/(2*len(x)) * np.sum(np.power(theta[:, 1:theta.shape[1]], 2)))
        cost = np.sum(first - second) / (len(x)) + reg

        # 更新theta
        for theta_index in range(0, len(theta.T)):
            h_theta = sigmoid(np.dot(x, theta.T))
            sum = np.dot((h_theta.T - y), x[:, theta_index : theta_index + 1])
            sum = np.sum(sum)/len(x)

            # theta0 与 其他的theta元素更新方式有点差异
            if theta_index == 0:
                theta[0,theta_index] = theta[0,theta_index] - alpha * sum
            else:
                theta[0, theta_index] = theta[0, theta_index] - alpha * (sum + lamda/len(x) * theta[0, theta_index])

    return np.array(theta)

theta_result_h0 = cost_line_reg(theta, x_train, y_train, 0) # h0 分类器
theta_result_h1 = cost_line_reg(theta, x_train, y_train, 1) # h1 分类器
theta_result_h2 = cost_line_reg(theta, x_train, y_train, 2) # h2 分类器

print(‘theta_result_h0:{}‘.format(theta_result_h0))
print(‘theta_result_h1:{}‘.format(theta_result_h1))
print(‘theta_result_h2:{}‘.format(theta_result_h2))

# h0,h1,h2三个分类器确定好之后，把生成结果最大的分类器作为最终分类
# 输入是特征向量，返回的是分类结果
def h_theta(x_arr):

    # 这里默认三个分类器的分界函数都是线性的
    h0_result = sigmoid(np.dot(x_arr , theta_result_h0.T))
    h1_result = sigmoid(np.dot(x_arr, theta_result_h1.T))
    h2_result = sigmoid(np.dot(x_arr , theta_result_h2.T))
    # 结果最大的分类器作为最终分类
    result_lable = 0
    if h0_result > h1_result and h0_result > h2_result:
        result_lable = 0
    elif h1_result > h0_result and h1_result > h2_result:
        result_lable = 1
    elif h2_result > h0_result and h2_result > h1_result:
        result_lable = 2
    return result_lable

# 在数据集上进行测试
def verify(x, y):
    x_one = np.ones(x.shape[0])
    x = np.insert(x, 0, values= x_one, axis=1)
    x = np.mat(x)

    # 各个真实类别的统计个数
    y_real_0_num = 0
    y_real_1_num = 0
    y_real_2_num = 0

    # 各个真实类别等于预测类别的统计个数
    y_real_0_prediction_0_num = 0
    y_real_1_prediction_1_num = 0
    y_real_2_prediction_2_num = 0

    # 各类别的预测准确度
    accuracy_rite_0 = 0.0
    accuracy_rite_1 = 0.0
    accuracy_rite_2 = 0.0
    accuracy_rite_whole = 0.0

    for row in range(0, len(x)):
        x_arr = x[row,:]
        y_real = y[row,0]
        y_prediction = h_theta(x_arr)

        # 统计各个真实类别的个数
        if y_real == 0:
            y_real_0_num = y_real_0_num + 1
        elif y_real == 1:
            y_real_1_num = y_real_1_num + 1
        elif y_real == 2:
            y_real_2_num = y_real_2_num + 1

        # 统计各个真实类别等于预测类别的个数
        if y_real == 0 and y_prediction == 0:
            y_real_0_prediction_0_num = y_real_0_prediction_0_num + 1
        elif y_real == 1 and y_prediction == 1:
            y_real_1_prediction_1_num = y_real_1_prediction_1_num + 1
        elif y_real == 2 and y_prediction == 2:
            y_real_2_prediction_2_num = y_real_2_prediction_2_num + 1

    print(‘y_real_0_prediction_0_num[{}],y_real_0_num[{}], y_real_1_prediction_1_num[{}], y_real_1_num[{}], y_real_2_prediction_2_num[{}], y_real_2_num[{}]‘
                 .format(y_real_0_prediction_0_num, y_real_0_num, y_real_1_prediction_1_num, y_real_1_num, y_real_2_prediction_2_num, y_real_2_num))

    accuracy_rite_0 = y_real_0_prediction_0_num / y_real_0_num
    accuracy_rite_1 = y_real_1_prediction_1_num / y_real_1_num
    accuracy_rite_2 = y_real_2_prediction_2_num / y_real_2_num
    accuracy_rite_whole = (y_real_0_prediction_0_num + y_real_1_prediction_1_num + y_real_2_prediction_2_num) / (len(x))
    print(‘accuracy_rite_0[{}], accuracy_rite_1[{}], accuracy_rite_2[{}], accuracy_rite_whole[{}]‘.format(accuracy_rite_0, accuracy_rite_1, accuracy_rite_2, accuracy_rite_whole))
print(‘############## train_verify begin ##########‘)
verify(x_train, y_train)
print(‘############## train_verify end ##########‘)
print(‘############## test_verify begin ##########‘)
verify(x_test, y_test)
print(‘############## test_verify end ##########‘)

代码运行结果

　　本文档重点在于讨论逻辑回归的原理和实现，所以代码里面的一些参数是随机生成的，每次执行的结果会有少许差异，工业环境中要对参数进行调优，选择最优化的参数。

　　执行程序，产生的测试结果如下：

init alpha:0.9878106271950878, lamda:0.07590602610318298, theta:[0.09612366 0.49599455 0.38297285 0.9730732  0.54394658]
theta_result_h0:[[-1.91985969 -1.42605078  1.81454853 -1.74542862 -1.84684359]]
theta_result_h1:[[-0.93718773  0.49878395 -1.18385395  0.59397282 -0.81950924]]
theta_result_h2:[[-3.40965892  0.07144545 -0.59527357  2.66257363  2.65466814]]
############## train_verify begin ##########
y_real_0_prediction_0_num[39],y_real_0_num[39], y_real_1_prediction_1_num[29], y_real_1_num[33], y_real_2_prediction_2_num[30], y_real_2_num[33]
accuracy_rite_0[1.0], accuracy_rite_1[0.8787878787878788], accuracy_rite_2[0.9090909090909091], accuracy_rite_whole[0.9333333333333333]
############## train_verify end ##########
############## test_verify begin ##########
y_real_0_prediction_0_num[11],y_real_0_num[11], y_real_1_prediction_1_num[16], y_real_1_num[17], y_real_2_prediction_2_num[17], y_real_2_num[17]
accuracy_rite_0[1.0], accuracy_rite_1[0.9411764705882353], accuracy_rite_2[1.0], accuracy_rite_whole[0.9777777777777777]
############## test_verify end ##########