正则表达式匹配与自动机

自动机的核心就是“状态”和“状态转移”，所以自动机又叫状态机。而动态规划也恰好是“状态”与”状态转移“。自动机又分为DFA与NFA，DFA一个输入对应一个状态转移，转移过程是确定的，而NFA一个状态输入对应多个转移方程

在LeetCode正则表达式匹配这道困难题目中，很明显*号对应着一个NFA，初始的状态为*号前面的字符，输入状态为*号，状态的转移分为匹配该字符零次和匹配该字符n次（n>=1)时text和pattern的移动位置，把匹配零次等同于状态机中的跳空，初始状态及该状态跳空即匹配零次的集合还能再接受pattern(i) == text(j)或者pattern(i)==.的输入，即

 子集A为匹配零次即置空的状态，该子集接受两个输入称为a和b，得到子集B和子集C，再以此由B和C继续接受输入，依次循环。

而当*号匹配当前字符n次时，也同样可以抽象出一个DFA的初始状态，即当前字符相等时，进入text(i+1)&&pattern(j)的状态，接下来步骤跟匹配零次差不多。

最后合并*号所有的情况就是，该匹配算法是个接受三个初始状态的nfa，当前pattern(i)==text(j)||pattern(i)==.,即算法中的first_match变量，该变量的两个状态再加上第二位是否有*号的状态判断，可知总共有三个初始状态

所以该nfa转为dfa，该dfa的初态就要包含这三个状态，终态和nfa一样，都即pattern和text同时为空时。

下面为递归代码，可以说模拟了nfa的匹配过程

public boolean isMatch(String text, String pattern) {
        //递归回溯结束点
        if (pattern.isEmpty()) {
            return text.isEmpty();
        }
        boolean first_match = (!text.isEmpty() &&
                (pattern.charAt(0) == text.charAt(0) || pattern.charAt(0) == ‘.‘));

        //如果pattern长度大于2并且第二位是*，这一步isMatch3(text, pattern.substring(2)可以判定用到*匹配零个前字符isMatch3(text, pattern.substring(2)
        if (pattern.length() >= 2 && pattern.charAt(1) == ‘*‘) {
            //这个匹配判定用到*匹配零个前字符
            return (isMatch3(text, pattern.substring(2)) ||
                    //这个匹配判定*代表n个字符
                    (first_match && isMatch3(text.substring(1), pattern)));
        } else {
            //判定第二位不是*的情况都移位判定，每回递归只判断第一位，直到空
            return first_match && isMatch3(text.substring(1), pattern.substring(1));
        }
    }

下面是动态规划解法

class Solution {
    public boolean isMatch(String s, String p) {
        int ls = s.length(), lp = p.length();
        boolean[][] dp = new boolean[ls + 1][lp + 1];
        dp[0][0] = true;
        for(int j = 2; j <= lp; j++)
            dp[0][j] = dp[0][j - 2] && p.charAt(j - 1) == ‘*‘;
        for(int i = 1; i <= ls; i++) {
            for(int j = 1; j <= lp; j++) {
                int m = i - 1, n = j - 1;
                if(p.charAt(n) == ‘*‘)
                    dp[i][j] = dp[i][j - 2] || dp[i - 1][j] && 
                        (s.charAt(m) == p.charAt(n - 1) || p.charAt(n - 1) == ‘.‘);
                else if(s.charAt(m) == p.charAt(n) || p.charAt(n) == ‘.‘) 
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            }
        }
        return dp[ls][lp];
    }
}