我理解的数据结构（五）—— 二分搜索树（Binary Search Tree）

一、二叉树

• 和链表一样，动态数据结构
• 具有唯一根节点
• 每个节点最多有两个子节点
• 每个节点最多有一个父节点
• 具有天然的递归结构
• 每个节点的左子树也是二叉树
• 每个节点的右子树也是二叉树
• 一个节点或者空也是二叉树

二、二分搜索树

• 是二叉树

• 每个节点的值

  • 大于其左子树的所有节点的值
  • 小于其右子树的所有节点的值
• 每一颗子树也是二分搜索树
• 存储的元素必须有可比较性

三、二分搜索树基础代码实现

1. 基础代码

因为二分搜索树的元素必须具有可比较行，所以E继承了Comparable，这是一个注意点

public class BST<E extends Comparable<E>> {

    // 节点
    private class Node {
        public E e;
        public Node left;
        public Node right;

        public Node(E e) {
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public BST() {
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int getSize() {
        return size;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

}

2. 添加元素代码

public void add(E e) {

    if (root == null) {
        root = new Node(e);
        size++;
    }

    add(root, e);
}

// 在以node为根节点的二分搜索树添加元素e，递归调用
private void add(Node node, E e) {

    if (node.e.compareTo(e)) { // 不考虑重复元素
        return;
    } else if (node.e.compareTo(e) > 0 && node.left == null) {
        node.left = new Node(e);
        size++;
        return;
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0 && node.right == null) {
        node.right = new Node(e);
        size++;
        return;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        add(node.left, e);
    } else {
        add(node.right, e);
    }
}

3. 添加元素代码（优化）

public void add(E e) {

    root = add(root, e);
}

// 返回插入二分搜索树的根
private Node add(Node node, E e) {

    if (node == null) {
        size++;
        return new Node(e);
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        node.left = add(node.left, e);
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0)  {
        node.right = add(node.right, e);
    }
    return node;
}

4. 查询元素代码

// 是否包含元素e
public boolean contains(E e) {
    return contains(root, e);
}

private boolean contains(Node node, E e) {
    if (node == null) {
        return false;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        return contains(node.left, e);
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
        return contains(node.right, e);
    } else {
        return true;
    }
}

四、二分搜索树的前、中、后序遍历

二叉树的前中后序遍历取决于在什么位置去访问元素，每个遍历都有不同的业务场景。
就拿下面这个二叉树举例：

//////////////////
//       5      //  
//      / \     //
//     3   6    //
//   /  \   \   //
//  2   4    8  //
//////////////////

1. 前序遍历（深度优先遍历）

• 最常用的遍历方式

// 前序遍历
public void preOrder() {
    preOrder(root);
}

private void preOrder(Node node) {
    if (node == null) {
        return;
    }

    // 遍历前访问元素：前序遍历
    System.out.println(node.e);
    preOrder(node.left);
    preOrder(node.right);
}

前序遍历的结果：5 3 2 4 6 8

2. 前序遍历（非递归写法）

public void preOrderNR() {
    // import java.util.Stack; 
    Stack<Node> stack = new Stack<>();
    stack.push(root);

    while (!stack.isEmpty()) {
        Node cur = stack.pop();
        System.out.println(cur.e);

        if (cur.right != null) {
            stack.push(cur.right);
        }
        if (cur.left != null) {
            stack.push(cur.left);
        }
    }
}

3. 中序遍历

• 二分搜索树的中序遍历结果是顺序的

// 中序遍历
public void inOrder() {
    inOrder(root);
}

private void inOrder(Node node) {
    if (node == null) {
        return;
    }

    inOrder(node.left);
    // 遍历的中间访问元素：中序遍历
    System.out.println(node.e);
    inOrder(node.right);
}

中序遍历的结果：2 3 4 5 6 8

4. 后序遍历

• 应用场景：释放内存

// 后序遍历
public void postOrder() {
    postOrder(root);
}

private void postOrder(Node node) {

    if (node == null) {
        return;
    }

    postOrder(node.left);
    postOrder(node.right);
    // 遍历的后面访问元素：后序遍历
    System.out.println(node.e);
}

中序遍历的结果：2 4 3 8 6 5

五、二分搜索树的层序遍历（广度优先遍历）

和二分搜索树的前序遍历不一样，层序遍历是广度优先遍历。
还是这个例子：优先遍历根节点5，然后是3、6，最后是2、4、8

//////////////////
//       5      //  
//      / \     //
//     3   6    //
//   /  \   \   //
//  2   4    8  //
//////////////////

• 优点：

  • 更快的找到问题的解
  • 常用语设计算法中——最短路径

代码实现：

// 层序遍历
public void levelOrder() {
    levelOrder(root);
}

private void levelOrder(Node node) {
    // import java.util.Queue;
    // import java.util.LinkedList;
    Queue<Node> q = new LinkedList<>();
    ((LinkedList<Node>) q).add(node);

    while (!q.isEmpty()) {

        Node cur = q.remove();
        System.out.println(cur.e);

        if (cur.left != null) {
            ((LinkedList<Node>) q).add(cur.left);
        }
        if (cur.right != null) {
            ((LinkedList<Node>) q).add(cur.right);
        }
    }
}

六、删除二分搜索树最大值和最小值

1.找到最小值的节点

• 从根节点一直找左节点，直到找到node.left == null，此时的node就是最小值的节点

// 二分搜索树的最小值
public E minimum() {

    if (size == 0) {
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
    }

    return minimum(root).e;
}

// 返回以node为根的二分搜索树的最小值的节点
private Node minimum(Node node) {

    if (node.left == null) {
        return node;
    }
    return minimum(node.left);
}

2.找到最大值的节点

• 从根节点一直找右节点，直到找到node.right == null，此时的node就是最大值的节点

// 二分搜索树的最大值
public E maximum() {

    if (size == 0) {
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
    }

    return maximum(root).e;
}

// 返回以node为根的二分搜索树的最大值的节点
private Node maximum(Node node) {

    if (node.right == null) {
        return node;
    }
    return maximum(node.right);
}

3.删除最小值的节点

• 如果需要删除的节点是一个叶子节点，没有右子树，那么直接删除即可
• 如果需要删除的节点不是一个叶子节点，那么需要把右节点替换到当前的节点

// 删除最小值的节点
public E removeMin() {
    E min = minimum();
    root = removeMin(root);
    return min;
}

// 删除二分搜索树以node为最小值的节点
// 返回删除节点后的新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node) {

    // 找到需要删除的节点
    if (node.left == null) {
        Node rightNode = node.right;
        node.right = null;
        size--;
        return rightNode;
    }

    node.left = removeMin(node.left);
    return node;
}

4.删除最大值的节点

// 删除最大值的节点
public E removeMax() {
    E max = maximum();
    root = removeMax(root);
    return max;
}

// 删除二分搜索树以node为最大值的节点
// 返回删除节点后的新的二分搜索树的根
private Node removeMax(Node node) {

    // 找到需要删除的节点
    if (node.right == null) {
        Node leftNode = node.left;
        node.left = null;
        size--;
        return leftNode;
    }

    node.right = removeMax(node.right);
    return node;
}

七、删除二分搜索树任意值

删除任意节点可以使用前驱（predecessor）和后继（successor）两种方法，下面使用的后继方法。
删除任意节点有三种情况：

1. 删除只有左子树的节点

   • 在逻辑上和删除最大值的节点是一样的

2. 删除只有右子树的节点

   • 在逻辑上和删除最小值的节点是一样的

3. 删除既有左子树和右子树的节点

   • 1962年，Hibbard提出Hibbard Deletion
   • 原理图如下

代码实现：

// 删除元素为e的节点
public void remove(E e) {
    root = remove(root, e);
}

private Node remove(Node node, E e) {

    if (node == null) {
        return null;
    }

    if (node.e.compareTo(e) > 0) {
        node.left = remove(node.left, e);
        return node;
    } else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
        node.right = remove(node.right, e);
        return node;
    } else { // e == node.e

        if (node.left == null) { // 左子树为空
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size--;
            return rightNode;
        }
        if (node.right == null) { // 右子树为空
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size--;
            return leftNode;
        }
        // node的后继
        Node successor = minimum(node.right);
        // 把删除node.right的后继后的二叉树赋值给后继的right
        successor.right = removeMin(node.right);
        // 把node.left赋值给后继的left
        successor.left = node.left;

        node.left = node.right = null;

        return successor;
    }
}