【算法-回溯】回溯总结
什么是回溯
在求解诸如八皇后、全排列等问题时,我们通常使用深度优先搜索dfs在解空间内搜索满足条件的解,dfs的搜索过程可以看做是在一棵搜索树上遍历的过程。例如,求数字[1,2,3]的全排列的搜索树如下:
当我们搜索到树的深层向浅层返回的过程就是回溯。
(我认为可以这样理解:从上往下搜索是递归,从下往上返回是回溯。当然,这不一定正确。)
为什么需要回溯
继续拿求[1,2,3]的全排列举例,我们搜索到树的底部得到了一个排列123,这时我们需要返回到上一层继续进行搜索。如果不回溯的话,那么就无法遍历整棵搜索树,也就无法求得全部的解。一般在两种情况下程序需要回溯:
- 找到了一个满足要求的解;
- 当前层递归找不到满足要求的解,回溯到上一层寻找。例如,在八皇后问题中,如果当前行找不到一个满足条件的位置,可以回溯到上一行,调整上一行皇后的位置,然后继续递归。
模板
大多回溯问题都遵循一个通用的模板,总体的步骤就是做选择、递归到下一层、撤销选择、回溯。
void backtrack(参数){ // start是做选择的起始位置 if(满足条件){ 将当前结果加入答案中; return; } for(选择 in 所有选择){ 做选择; backtrack(参数); 撤销选择; } }
更详细一点的表述如下:
void backtrack(start, 其他参数){ // start是做选择的起始位置 if(满足条件){ 将当前结果加入答案中; return; } for(int i=start; i<n; i++){ if(满足剪枝条件) continue; 做选择; backtrack(i, 其他参数); 撤销选择; } }
例如,求一个数组的所有子集的代码如下:
class Solution { public: vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) { if(nums.empty()) return {{}}; vector<vector<int>> ans; vector<int> track; backtrack(nums, 0, track, ans); return ans; } void backtrack(vector<int> nums, int start, vector<int> track, vector<vector<int>>& ans){ ans.push_back(track); for(int i=start; i<nums.size(); i++){ track.push_back(nums[i]); backtrack(nums, i+1, track, ans); track.pop_back(); } } };
可以看出,直接套用模板即可。
技巧
不同的回溯题的区别主要在两点:
- 从哪个地方开始做选择,也就是每次递归start的设置问题。
- 有一些问题要求答案中不能包含重复的解,这个是如何剪枝从而去重的问题。
问题1
首先看第一个问题,就是从哪个地方开始做选择,也就是每次递归的时候start如何设置。在全排列这题当中,我们每次递归都从数组第1个数字开始选择,而在子集这题中,我们每次都从上一次选择的位置的下一个位置开始选择。如果在做当前的选择时要考虑之前的选择,那么就要把每次递归的start设为0;如果在做当前选择的时候只考虑当前的选择以及之后的选择,那么就把start设为上一个选择的下一个位置i+1或者i。
上面的结论其实不是很准确,还是要根据不同的情况来调整。这里记录几个与start选择相关的题目:全排列、子集、组合总和和组合总和II。
问题2
当题目中要求答案中不能包含重复的解时,通常意味着要加入去重操作。为了便于去重,通常在搜索之前先对数组进行排序。举个例子,在全排列II中,数组中可能包含重复数字,例如[1,1,2],而要求答案中不包含重复的排列。经过分析可以发现,出现重复的原因是因为在同一层递归中出现了相同的数字。所以,为了去重,我们在同一层递归的迭代中,要找到和之前不相同的数字继续搜索。
相关题目:全排列II、子集II、组合总和II。
相关题目
编号 | 题目 | 难度 |
---|---|---|
1 | 全排列 | 中等 |
2 | 全排列II | 中等 |
3 | 子集 | 中等 |
4 | 子集II | 中等 |
5 | 组合总和 | 中等 |
6 | 组合总和II | 中等 |
7 | 字母大小写全排列 | 简单 |
8 | 电话号码的字母组合 | 中等 |
9 | N皇后 | 困难 |
其他
下面的链接对回溯有更详细的解释:
- https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/solution/hui-su-suan-fa-xiang-jie-by-labuladong/
- https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/solution/fei-chang-xiang-xi-de-di-gui-hui-su-tao-lu-by-re-2/
- https://leetcode-cn.com/problems/permutations/solution/hui-su-suan-fa-python-dai-ma-java-dai-ma-by-liweiw/
- https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-ii/solution/hui-su-suan-fa-jian-zhi-python-dai-ma-java-dai-m-3/