python3 第十章 - 如何进行进制转化

在计算器的世界里2进制是主流，而在人类的自然世界中10进制是主流，那么在这之间必然就会存在进制转化的问题。本章我们就来讲讲进制转化，也希望通过本章加深您对前些章所学知识的理解。

原理：先说说关于位权的概念，某进制计数制中各位数字符号所表示的数值表示该数字符号值乘以一个与数字符号有关的常数，该常数称为 “位权 ” 。位权的大小是以基数为底，数字符号所处的位置的序号为指数的整数次幂。十进制数的百位、十位、个位、十分位的权分别是10的2次方、10的1次方、10的0次方，10的-1次方。二进制数就是2的n次幂。按权展开求和（按权相加）正是非十进制化十进制的方法。

1、其它进制转十进制

把二进制数首先写成加权系数展开式，然后按十进制加法规则求和：

例如：1101 = 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

同样的，八进制转十进制，也可以用按权相加法：

例如：0o12 = 1 * 8¹ + 2 * 8⁰ = 1 * 8 + 2 * 1 = 10

再来看看，十六进制转十进制，怎么用按权相加法：

例如：0x12 = 1 * 16¹ + 2 * 16⁰ = 1 * 16 + 2 * 1= 18

2、十进制转其它进制

众所周知，二进制的基数为2，我们十进制化二进制时所除的2就是它的基数。

我们先举个十进制整数转换为二进制整数的例子，假设十进制整数A化得的二进制数为edcba 的形式，那么用上面的方法按权展开， 得A=a(2^0)+b(2^1)+c(2^2)+d(2^3)+e(2^4) （后面的和不正是化十进制的过程吗）

假设该数未转化为二进制,除以基数2得
A/2=a(2^0)/2+b(2^1)/2+c(2^2)/2+d(2^3)/2+e(2^4)/2
注意：a除不开二，余下了！其他的绝对能除开，因为他们都包含2，而a乘的是1，他本身绝对不包含因数2，只能余下。
商得：
b(2^0)+c(2^1)+d(2^2)+e(2^3)，再除以基数2余下了b，以此类推。
当这个数不能再被2除时，先余掉的a位数在原数低，而后来的余数数位高，所以要把所有的余数反过来写。正好是edcba

我们先来看看，十进制如何转二进制，以13为例：

十进制整数转换为二进制整数采用”除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为0时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。

所以，13 = 0b1101

我们再来看看，十进制如何转八进制，以53为例：

十进制整数转换为八进制整数采用”除8取余，逆序排列"法。具体做法是：用8整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用8去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为0时为止，然后把先得到的余数作为八进制数的低位有效位，后得到的余数作为八进制数的高位有效位，依次排列起来。

所以，153 = 0o231

通过以上十进制转二进制，以及十进制转八进制的例子，你应该明白规律了吧，自己试着把十进制286转成十六进制

3、十进制小数转换为二进制小数

十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，此时0或1为二进制的最后一位。或者达到所要求的精度为止。
然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。
十进制小数转二进制

如：0.625=0b0.101
0.625*2=1.25======取出整数部分1
0.25*2=0.5========取出整数部分0
0.5*2=1==========取出整数部分1

再如：0.7=0B0.1 0110 0110...
0.7*2=1.4========取出整数部分1
0.4*2=0.8========取出整数部分0
0.8*2=1.6========取出整数部分1
0.6*2=1.2========取出整数部分1
0.2*2=0.4========取出整数部分0
0.4*2=0.8========取出整数部分0
0.8*2=1.6========取出整数部分1
0.6*2=1.2========取出整数部分1
0.2*2=0.4========取出整数部分0

原理：
关于十进制小数转换为二进制小数
假设一十进制小数B化为了二进制小数0.ab的形式，同样按权展开，得
B=a(2^-1)+b(2^-2)
因为小数部分的位权是负次幂，所以我们只能乘2，得
2B=a+b（2^-1)
注意a变成了整数部分，我们取整数正好是取到了a，剩下的小数部分也如此。
值得一提的是，小数部分的按权展开的数位顺数正好和整数部分相反，所以不必反向取余数了。

如果小数的整数部分有大于0的整数时该如何转换呢？如以上整数转换成二进制，小数转换成二进制，然后加在一起就OK了，例如：6.125转成二进制

6.125 = 0B110.001

十进制小数转换为八进制小数、十进制小数转换为16进制小数也是类似的操作，请自行把 6.125分别转化为8进制、16进制

思考，如何把10进制转化为2~36的任意进制？后面的教程里，我们教大家怎么用程序来实现。

在线验证工具：http://tool.oschina.net/hexconvert/