用C语言实现Prim算法及测试用例

摘要：

本文首先最小生成树三种算法简单描述，再介绍Prim算法描述、算法正确性证明并给出例子，最后用C语言实现该算法，并给出测试结果。

一、最小生成树算法

现实中不少问题可以抽象成最小生成树模型，比如道路铺设，使得任何两个地方可达，并且使得总费用最省。最小生成树算法主要有：

(1) Kruskal(克鲁斯克尔)算法

从G中的最小边开始，进行避圈式扩张。从符合扩展边(新加入的边不会构成回路)选择权值最小的边进行扩展。

(2) 管梅谷的破圈法

不断破圈(从赋权图G的任意圈开始，去掉该圈中权值最大的一条边，称为破圈)，直到G中没有圈为止，最后剩下的G的子图为G的最小生成树。

(3)  Prim算法

对于连通赋权图G的任意一个顶点u，选择与点u关联的且权值最小的边作为最小生成树的第一条边e1。在接下来的边e2,e3,…,en-1 ,在与一条已经选取的边只有一个公共端点的的所有边中，选取权值最小的边。

二、Prim算法

(1) 算法描述

Prim算法利用贪心法思想，算法描述如下：

在图G=(V, E) （V表示顶点 ，E表示边）中，从集合V中任取一个顶点（例如取顶点v0）放入集合 U中，这时 U={v0}，集合T(E)为空。

从v0出发寻找与U中顶点相邻（另一顶点在V中）权值最小的边的另一顶点v1，并使v1加入U。即U={v0,v1 }，同时将该边加入集合T(E)中。

重复(2)，直到U = V为止。

这时T(E)中有n-1条边，T = (U, T(E))就是一棵最小生成树。

(2) 算法正确性证明

即证明用该算法得到的生成树是最小的。如下：

设prim生成的树为G0，假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)，则在Gmin中存在(u,v)不属于G0，将(u,v)加入G0中可得一个环，且(u,v)不是该环的最长边，这与prim每次生成最短边矛盾。故假设不成立，命题得证[1]。

(3) 例子