数据结构（一）
算法的时间复杂度
通常用O(1)，O(n)，O(lgn)，O(nlogn)，O(n^2)等表示算法时间复杂度，大O描述的是算法运行时间和输入数据之间的关系。
看一个对输入数据进行求和的算法：
1 public static int sum(int[] nums) {
2 int sum = 0;
3 for(int num: nums) sum += num;
4 return sum;
5 }第3行，对于nums中的每个数，都要进行这种操作，执行时间我们计为常量c1；
第2行和第4行的执行时间计做常量c2；
得出该算法的运行时间与输入数据（数组个数规模）之间是一种线性关系：
T = c1*n + c2
分析时间复杂度时，忽略常数。因此该算法的时间复杂度为O(n)。
再看下面的关系：
T1 = 2*n + 2 O(n) T2 = 2000*n + 10000 O(n) T3 = 1*n*n + 0 O(n^2)
我们知道高阶时间复杂度O(n^2)是大于低阶时间复杂度O(n)的，但是当n等于10时，高阶算法的执行时间T3=100，低阶算法的执行时间T2=12000，T3 < T2，这不是矛盾了吗？
其实，大O的表示的是渐进时间复杂度，描述的是n趋近于无穷时的情况。在n趋于无穷时，T3 > T2。
对于n较小的情况下，当高阶算法的常数比较小的时候，有可能运行时间反而快于低阶算法的
当n趋于无穷的情况下，同时存在高阶和低阶时，低阶是可以被忽略的：
T1 = 300n + 10 O(n) T2 = 1*n*n + 300n + 10 O(n^2)
数据结构---数组
数组就是把数据码成一排进行存放，是一种线性数据结构：
数组的最大优点：快速查询。scores[2]
我们基于Java的静态数组，封装一个属于自己的动态数组类Array，加深对于数组这种数据结构的理解。
我们基于Java静态数组data来封装我们的动态数组Array类，capacity表示数组容量，可以通过data.length获得。size表示数组元素个数，初始为0（也可以看成是下一个新增元素的索引位置）。
据此，设计Array类结构。
实现动态数组
初始数组类结构
public class Array<E> {
private E[] data;
private int size;
// 构造函数，传入数组的容量captacity构造Array
public Array(int capacity) {
data = (E[])new Object[capacity];
size = 0;
}
// 无参数的构造函数，默认数组的容量capacity=10
public Array() {
this(10);
}
// 获取数组中的元素个数
public int getSize() {
return size;
}
// 获取数组的容量
public int getCapacity() {
return data.length;
}
// 返回数组是否为空
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
}向数组末尾添加元素
添加元素前：
添加元素后：
分析得出，如果要向数组添加元素e，只要在size所在索引位置设置元素e，然后size向后移动（size++）即可。
据此，增加添加元素相关的代码：
// 在所有元素后添加一个新元素
public void addLast(E e) {
if(size == data.length) { // 数组容量已填满，则不能再添加
throw new IllegalArgumentException("AddLast failed. Array is full.");
}
data[size] = e;
size++;
}向指定位置添加元素
添加前：
添加后：
分析得出，只要把要插入元素的索引位置的当前元素以及其后的所有元素，都往后挪动一位，然后在指定索引位置设置新元素即可，最后size++。为避免元素覆盖，具体挪的时候，需要从后往前推进完成元素挪动的整个过程。
修改代码：
// 在第index个位置插入一个新元素e
public void add(int index, E e) {
if(size == data.length) {
throw new IllegalArgumentException("Add failed. Array is full.");
}
if(index < 0 || index > size) {
throw new IllegalArgumentException("Add failed. Require index >= 0 and index <= size.");
}
for(int i = size - 1; i >= index; i--) {
data[i + 1] = data[i];
}
data[index] = e;
size++;
}调整addLast，复用add方法，同时增加一个addFirst：
// 在所有元素后添加一个新元素
public void addLast(E e) {
add(size, e);
}
// 在所有元素前添加一个新元素
public void addFirst(E e) {
add(0, e);
}获取元素和修改元素
// 获取index索引位置的元素
public E get(int index) {
if (index < 0 || index >= size) {
throw new IllegalArgumentException("Get failed. Index is illegal.");
}
return data[index];
}
// 修改index索引位置的元素
public void set(int index, E e) {
if (index < 0 || index >= size) {
throw new IllegalArgumentException("Set failed. Index is illegal.");
}
data[index] = e;
}包含、搜索
// 查找数组中是否有元素e
public boolean contains(E e) {
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (data[i].equals(e)) {
return true;
}
}
return false;
}
// 查找数组中元素e所在的索引，如果不存在元素e，则返回-1
public int find(E e) {
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (data[i].equals(e)) {
return i;
}
}
return -1;
}从数组中删除元素
删除前：
删除后：
分析得出，只要将要删除位置之后的元素都往前挪动一位即可。然后size减1。
修改代码：
// 从数组中删除index位置的元素，返回删除的元素
public E remove(int index) {
if (index < 0 || index >= size) {
throw new IllegalArgumentException("Remove failed. Index is illegal.");
}
E ret = data[index];
for (int i = index + 1; i < size; i++) {
data[i-1] = data[i];
}
size--;
return ret;
}
// 从数组中删除第一个元素，返回删除的元素
public E removeFirst() {
return remove(0);
}
// 从数组中删除最后一个元素，返回删除的元素
public E removeLast() {
return remove(size - 1);
}
// 从数组中删除元素e（只删除一个）
public boolean removeElement(E e) {
int index = find(e);
if (index != -1) {
remove(index);
return true;
}
return false;
}调整为动态数组
容量开太大，浪费空间，容量开小了，空间不够用。所以需要实现动态数组。
具体做法如下：
就是在方法中开辟一个更大容量的数组，循环遍历原来的数组元素，设置到新的数组上。然后将原数组的data指向新数组。
修改代码：
// 数组容量扩容/缩容
public void resize(int newCapacity) {
E[] newData = (E[])new Object[newCapacity];
for (int i = 0; i < size; i++) {
newData[i] = data[i];
}
data = newData;
}修改添加元素的代码，添加时自动扩容：
// 在第index个位置插入一个新元素e
public void add(int index, E e) {
if (index < 0 || index > size) {
throw new IllegalArgumentException("AddLast failed. Require index >= 0 and index <= size");
}
if (size == data.length) {
resize(2 * data.length); // 扩容为原来的2倍
}
for (int i = size - 1; i >= index; i--) {
data[i + 1] = data[i];
}
data[index] = e;
size++;
}修改删除元素的代码，必要时自动缩容：
// 从数组中删除index位置的元素，返回删除的元素
public E remove(int index) {
if (index < 0 || index >= size) {
throw new IllegalArgumentException("Remove failed. Index is illegal.");
}
E ret = data[index];
for (int i = index + 1; i < size; i++) {
data[i - 1] = data[i];
}
size--;
data[size] = null; // loitering objects != memory leak
if (size == data.length / 2 && data.length / 2 != 0) {
resize(data.length / 2); // 缩容为原来的一半
}
return ret;
}测试我们的数组
@Override
public String toString() {
StringBuilder res = new StringBuilder();
res.append(String.format("Array: size = %d, capacity = %d\n", size, data.length));
res.append("[");
for (int i = 0; i < size; i++) {
res.append(data[i]);
if (i != size - 1) {
res.append(", ");
}
}
res.append("]");
return res.toString();
}
public static void main(String[] args) {
Array<Integer> arr = new Array<>();
for (int i = 0; i < 10; i++) {
arr.addLast(i);
}
System.out.println(arr);
arr.add(1, 100);
System.out.println(arr);
arr.addFirst(-1);
System.out.println(arr);
arr.remove(2);
System.out.println(arr);
arr.removeElement(4);
System.out.println(arr);
arr.removeFirst();
System.out.println(arr);
}console输出：
Array: size = 10, capacity = 10 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] Array: size = 11, capacity = 20 [0, 100, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] Array: size = 12, capacity = 20 [-1, 0, 100, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] Array: size = 11, capacity = 20 [-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] Array: size = 10, capacity = 20 [-1, 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9] Array: size = 9, capacity = 20 [0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9]
动态数组的时间复杂度
- addLast(e)：O(1)
与数组元素规模没有关系，在末尾增加元素，都能在常数时间内完成 - addFirst(e)：O(n)
涉及到所有数组元素要挪位 - add(index, e)：O(n)
按照概率论，平均要挪1/2*n个位置，O(1/2*n)，n趋于无穷，忽略常量 - resize(capacity)：O(n)
涉及到把原来的每个元素要复制一遍 - removeLast(e)：O(1)
与数组元素规模没有关系，在末尾删除元素，都能在常数时间内完成 - removeFirst(e)：O(n)
涉及到所有数组元素要挪位 - remove(index, e)：O(n)
按照概率论，平均要挪1/2*n个位置，O(1/2*n)，n趋于无穷，忽略常量 - set(index, e)：O(1)
- get(index)：O(1)
- contains(e)：O(n)
- find(e)：O(n)
综合来看，
- 增：O(n)
- 删：O(n)
- 改：已知索引O(1)，未知索引O(n)
- 查：已知索引O(1)，未知索引O(n)
对于addLast(e)和removeLast(e)，有可能会涉及到resize，所以还是O(n)。但是，对于这种相对比较耗时的操作，如果能保证它不是每次都会触发的话，可以用均摊复杂度更为合理。
均摊时间复杂度
假设capacity=n，n+1次addLast操作后，触发resize操作，resize操作对n个元素进行复制，所以总共进行2n+1次操作。平均，每次addLast操作，进行2次基本操作。这种均摊计算，时间复杂度是O(1)。
同理removeLast()，均摊时间复杂度也是O(1)
复杂度震荡
上面，我们按均摊时间复杂度来分析，addLast()和removeLast()操作的时间复杂度都是O(1)。
但是当我们同时关注addLast()和removeLast()操作的时候，存在这么一种情况：假设capacity=n，当程序操作addLast()添加第n+1个元素的时候，触发resize扩容，此时，时间复杂度为O(n)。然后很不幸的，接着马上又是removeLast()删除第n+1个元素，又触发了resize缩容，时间复杂度还是O(n)。更不幸的是，这时候addLast()、removeLast()操作一直在反复进行，那么每次都是O(n)了。
对于这个问题，就是复杂度震荡，问题的关键在于removeLast()的时候缩容的有些着急(Eager)。可以优化成延迟缩容，在数组元素只有容量的1/4的时候再进行缩容。
修改代码如下：
// 从数组中删除index位置的元素，返回删除的元素
public E remove(int index) {
if (index < 0 || index >= size) {
throw new IllegalArgumentException("Remove failed. Index is illegal.");
}
E ret = data[index];
for (int i = index + 1; i < size; i++) {
data[i - 1] = data[i];
}
size--;
data[size] = null; // loitering objects != memory leak
// 缩容数组使用lazy方式（避免复杂度震荡），在1/4的时候才缩容
if (size == data.length / 4 && data.length / 2 != 0) {
resize(data.length / 2); // 缩容为原来的一半
}
return ret;
}动态数组的完整代码
public class Array<E> {
private E[] data;
private int size;
// 构造函数，传入数组的容量captacity构造Array
public Array(int capacity) {
data = (E[])new Object[capacity];
size = 0;
}
// 无参数的构造函数，默认数组的容量capacity=10
public Array() {
this(10);
}
// 获取数组中的元素个数
public int getSize() {
return size;
}
// 获取数组的容量
public int getCapacity() {
return data.length;
}
// 返回数组是否为空
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
// 在第index个位置插入一个新元素e
public void add(int index, E e) {
if (index < 0 || index > size) {
throw new IllegalArgumentException("Add failed. Require index >= 0 and index <= size");
}
if (size == data.length) {
resize(2 * data.length); // 扩容为原来的2倍
}
for (int i = size - 1; i >= index; i--) {
data[i + 1] = data[i];
}
data[index] = e;
size++;
}
// 在所有元素后添加一个新元素
public void addLast(E e) {
add(size, e);
}
// 在所有元素前添加一个新元素
public void addFirst(E e) {
add(0, e);
}
// 获取index索引位置的元素
public E get(int index) {
if (index < 0 || index >= size) {
throw new IllegalArgumentException("Get failed. Index is illegal.");
}
return data[index];
}
// 修改index索引位置的元素
public void set(int index, E e) {
if (index < 0 || index >= size) {
throw new IllegalArgumentException("Set failed. Index is illegal.");
}
data[index] = e;
}
// 查找数组中是否有元素e
public boolean contains(E e) {
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (data[i].equals(e)) {
return true;
}
}
return false;
}
// 查找数组中元素e所在的索引，如果不存在元素e，则返回-1
public int find(E e) {
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (data[i].equals(e)) {
return i;
}
}
return -1;
}
// 从数组中删除index位置的元素，返回删除的元素
public E remove(int index) {
if (index < 0 || index >= size) {
throw new IllegalArgumentException("Remove failed. Index is illegal.");
}
E ret = data[index];
for (int i = index + 1; i < size; i++) {
data[i - 1] = data[i];
}
size--;
data[size] = null; // loitering objects != memory leak
// 缩容数组使用lazy方式（避免复杂度震荡），在1/4的时候才缩容
if (size == data.length / 4 && data.length / 2 != 0) {
resize(data.length / 2); // 缩容为原来的一半
}
return ret;
}
// 从数组中删除第一个元素，返回删除的元素
public E removeFirst() {
return remove(0);
}
// 从数组中删除最后一个元素，返回删除的元素
public E removeLast() {
return remove(size - 1);
}
// 从数组中删除元素e（只删除一个）
public boolean removeElement(E e) {
int index = find(e);
if (index != -1) {
remove(index);
return true;
}
return false;
}
public void resize(int newCapacity) {
E[] newData = (E[])new Object[newCapacity];
for (int i = 0; i < size; i++) {
newData[i] = data[i];
}
data = newData;
}
@Override
public String toString() {
StringBuilder res = new StringBuilder();
res.append(String.format("Array: size = %d, capacity = %d\n", size, data.length));
res.append("[");
for (int i = 0; i < size; i++) {
res.append(data[i]);
if (i != size - 1) {
res.append(", ");
}
}
res.append("]");
return res.toString();
}
public static void main(String[] args) {
Array<Integer> arr = new Array<>();
for (int i = 0; i < 10; i++) {
arr.addLast(i);
}
System.out.println(arr);
arr.add(1, 100);
System.out.println(arr);
arr.addFirst(-1);
System.out.println(arr);
arr.remove(2);
System.out.println(arr);
arr.removeElement(4);
System.out.println(arr);
arr.removeFirst();
System.out.println(arr);
}
}数据结构---栈
- 栈也是一种线性数据结构
- 相比数组，栈对应的操作是数组的子集
- 只能从栈顶添加元素，也只能从栈顶取出元素
- 是一种后进先出的数据结构，LIFO（Last In First Out）
无处不在的撤销操作、程序调用的调用栈，等等都是栈的常见应用。
实现栈
基于我们实现的动态数组Array来实现栈
public interface Stack<E> {
int getSize();
boolean isEmpty();
void push(E e);
E pop();
E peek();
}public class ArrayStack<E> implements Stack<E> {
Array<E> array;
public ArrayStack(int capacity) {
array = new Array<>(capacity);
}
public ArrayStack() {
array = new Array<>();
}
@Override
public int getSize() {
return array.getSize();
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return array.isEmpty();
}
@Override
public void push(E e) {
array.addLast(e);
}
@Override
public E pop() {
return array.removeLast();
}
@Override
public E peek() {
return array.getLast();
}
public int getCapacity() {
return array.getCapacity();
}
@Override
public String toString() {
StringBuffer res = new StringBuffer();
res.append("Stack: ");
res.append("[");
for (int i = 0; i < array.getSize(); i++) {
res.append(array.get(i));
if (i != array.getSize() -1) {
res.append(", ");
}
}
res.append("] top");
return res.toString();
}
public static void main(String[] args) {
ArrayStack<Integer> stack = new ArrayStack<>();
for (int i = 0; i < 5; i++) {
stack.push(i);
System.out.println(stack);
}
stack.pop();
System.out.println(stack);
}
}输出结果：
Stack: [0] top Stack: [0, 1] top Stack: [0, 1, 2] top Stack: [0, 1, 2, 3] top Stack: [0, 1, 2, 3, 4] top Stack: [0, 1, 2, 3] top
由于基于我们的动态数组Array来实现的栈，所以该栈也具备了缩容和扩容的能力。
栈的时间复杂度
ArrayStack<E>
- void push(E)：可能触发resize，均摊复杂度依然为O(1)
- E pop()：可能触发resize，均摊复杂度依然为O(1)
- E peek()：O(1)
- int getSize()：O(1)
- boolean isEmpty()：O(1)
数据结构---队列
- 队列也是一种线性数据结构
- 相比数组，队列对应的操作是数组的子集
- 只能从一端（队尾）添加元素，从另一端（队首）取出元素
- 是一种先进先出的数据结构，FIFO（First In First Out）
实现数组队列
基于我们实现的动态数组Array来实现队列
public interface Queue<E> {
int getSize();
boolean isEmpty();
void enqueue(E e);
E dequeue();
E getFront();
}public class ArrayQueue<E> implements Queue<E> {
private Array<E> array;
public ArrayQueue(int capacity) {
array = new Array<>(capacity);
}
public ArrayQueue() {
array = new Array<>();
}
@Override
public int getSize() {
return array.getSize();
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return array.isEmpty();
}
public int getCapacity() {
return array.getCapacity();
}
@Override
public void enqueue(E e) {
array.addLast(e);
}
@Override
public E dequeue() {
return array.removeFirst();
}
@Override
public E getFront() {
return array.getFirst();
}
@Override
public String toString() {
StringBuffer res = new StringBuffer();
res.append("Queue: ");
res.append("front [");
for (int i = 0; i < array.getSize(); i++) {
res.append(array.get(i));
if (i != array.getSize() -1) {
res.append(", ");
}
}
res.append("] tail");
return res.toString();
}
public static void main(String[] args) {
ArrayQueue<Integer> queue = new ArrayQueue<>();
for (int i = 0; i < 10; i++) {
queue.enqueue(i);
System.out.println(queue);
if (i % 3 == 2) {
queue.dequeue();
System.out.println(queue);
}
}
}
}输出结果：
Queue: front [0] tail Queue: front [0, 1] tail Queue: front [0, 1, 2] tail Queue: front [1, 2] tail Queue: front [1, 2, 3] tail Queue: front [1, 2, 3, 4] tail Queue: front [1, 2, 3, 4, 5] tail Queue: front [2, 3, 4, 5] tail Queue: front [2, 3, 4, 5, 6] tail Queue: front [2, 3, 4, 5, 6, 7] tail Queue: front [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] tail Queue: front [3, 4, 5, 6, 7, 8] tail Queue: front [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] tail
由于基于我们的动态数组Array来实现的栈，所以该队列也具备了缩容和扩容的能力。
数组队列的时间复杂度
ArrayQueue<E>
- void enqueue(E)：队尾入队，可能触发resize，均摊复杂度依然为O(1)
- E dequeue()：出队后涉及所有元素向前移动，时间复杂度为O(n)
- E getFront()：O(1)
- int getSize()：O(1)
- boolean isEmpty()：O(1)
实现循环队列
数组队列的出队时间复杂度为O(n)，主要问题是因为出队后，队伍中的元素都要往前移动。
过程大致如下：
队列：
出队：
移动：
维护size：
我们考虑实现一种循环队列，记录队头head指向和队尾tail指向。这么一来入队和出队只要分别向后移动tail和head一个位置即可。该问题就可以简化成如下方式的一种操作：
随着入队出队的持续进行，为了充分利用前方出队后留下的空间，tail在7位置时，如果继续入队，tail将指向0位置推进，所谓循环队列，就是这个意思。就像一个环形的传送带，只用移动头尾标记，就可以很方便地处理队列元素。所以循环队列在实现时要考虑按容量取模的处理情况。
另外，再考虑循环队列的另外一种情况：
关于循环队列，在实现时，在head与tail处于相同位置的时候，我们认为队列为空：
随着持续入队出队，在循环移动tail和front的过程中，tail可能会追上front：
由于tail==front不能即表达为“队列空”，又表达为“队列满”。为了解决这个问题，循环队列有意浪费一个空间：
因此，tail == front代表队列空，(tail + 1) % capacity = front代表队列满。
据此，我们实现循环队列如下：
public class LoopQueue<E> implements Queue<E> {
private E[] data;
private int front, tail;
private int size;
public LoopQueue(int capacity) {
// capacity是用户期望的存储元素数量，实现队列时要浪费一个空间，所以apacity + 1
data = (E[])new Object[capacity + 1];
front = 0;
tail = 0;
size = 0;
}
public LoopQueue() {
this(10);
}
public int getCapacity() {
return data.length - 1;
}
@Override
public int getSize() {
return size;
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return front == tail;
}
@Override
public void enqueue(E e) {
if ((tail + 1) % data.length == front) {
resize(getCapacity() * 2);
}
data[tail] = e;
tail = (tail + 1) % data.length;
size++;
}
// O(1) 相比数组队列，由O(n)变成了O(1)
@Override
public E dequeue() {
if (isEmpty()) {
throw new IllegalArgumentException("Cannot dequeue from an empty queue.");
}
E ret = data[front];
data[front] = null;
front = (front + 1) % data.length;
size--;
if (size == getCapacity() / 4 && getCapacity() /2 != 0) {
resize(getCapacity() / 2);
}
return ret;
}
private void resize(int newCapacity) {
E[] newData = (E[])new Object[newCapacity + 1];
for (int i = 0; i < size; i++) {
// 将原来data中的元素放到newData中
// front作为第一个元素，所以有front的偏差，由于是循环队列，所以要取模运算
newData[i] = data[(i + front) % data.length];
}
data = newData;
front = 0;
tail = size;
}
@Override
public E getFront() {
if (isEmpty()) {
throw new IllegalArgumentException("Cannot dequeue from an empty queue.");
}
return data[front];
}
@Override
public String toString() {
StringBuilder res = new StringBuilder();
res.append(String.format("Queue: size = %d, capacity = %d\n", size, getCapacity()));
res.append("front [");
for (int i = front; i != tail; i = (i + 1) % data.length) {
res.append(data[i]);
if ((i + 1) % data.length != tail) {
res.append(", ");
}
}
res.append("] tail");
return res.toString();
}
public static void main(String[] args) {
LoopQueue<Integer> queue = new LoopQueue<>();
for (int i = 0; i < 10; i++) {
queue.enqueue(i);
System.out.println(queue);
if (i % 3 == 2) {
queue.dequeue();
System.out.println(queue);
}
}
}
}循环队列的时间复杂度
LoopQueue<E>
- void enqueue(E)：O(1) 均摊
- E dequeue()：O(1) 均摊
- E getFront()：O(1)
- int getSize()：O(1)
- boolean isEmpty()：O(1)
测试数组队列和循环队列
import java.util.Random;
public class Main {
// 测试使用q测试运行opCount个enqueue和dequeue操作所需要的时间，单位：秒
private static double testQueue(Queue<Integer> q, int opCount) {
long startTime = System.currentTimeMillis();
Random random = new Random();
for (int i = 0; i < opCount; i++) {
q.enqueue(random.nextInt(Integer.MAX_VALUE));
}
for (int i = 0; i < opCount; i++) {
q.dequeue();
}
long endTime = System.currentTimeMillis();
return (endTime - startTime) / 1000.0;
}
public static void main(String[] args) {
int opCount = 100000;
ArrayQueue<Integer> arrayQueue = new ArrayQueue<>();
double time1 = testQueue(arrayQueue, opCount);
System.out.println("ArrayQueue, time: " + time1 + " s");
LoopQueue<Integer> loopQueue = new LoopQueue<>();
double time2 = testQueue(loopQueue, opCount);
System.out.println("LoopQueue, time: " + time2 + " s");
}
}测试输出:
ArrayQueue, time: 3.895 s LoopQueue, time: 0.014 s
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