模板 - 数学 - 数论 - 线性筛
线性筛质数，可以通过输出ptop之后调整p数组的大小。pm[i]表示i的最小质因子，pk[i]表示含有i的最小质因子的幂。其他的积性函数主要依靠pk的值来求解，比如现在枚举的是t，求出了他的最小质因子的幂pk[t]，那么t/pk[t]与pk[t]显然是互质的。当t==pk[t]时，则t是p[j]的幂次，一般积性函数在质数的幂次都要特殊求解，不过欧拉函数和莫比乌斯函数可以直接从低一级的幂次转移过来。当t!=pk[t]时，直接分解成两个互质的数的乘积。要注意这个算法的空间消耗巨大。
1ex内的质数数量：
1e1|4
1e2|25
1e3|168
1e4|1229
1e5|9592
1e6|78498
1e7|664579
1e8|5761455
其他常见的上界：
2e5|17984
2e6|148933
2e7|1270607
5e5|41538
5e6|348513
5e7|3001134
第一个严格大于上界的最小质数连乘：
2*3*5 = 30 > 10 = 1e1
2*3*5*7 = 210 > 100 = 1e2
2*3*5*7*11 = 2310 > 1000 = 1e3
2*3*5*7*11*13 = 30030 > 10000 = 1e4
2*3*5*7*11*13*17 = 510510 > 100000 = 1e5
2*3*5*7*11*13*17*19 = 9699690 > 1000000 = 1e6
2*3*5*7*11*13*17*19*23 = 223092870 > 10000000 = 1e7
注意这个是严格大于，假如保证在上界以内的话事实上是少一个的。
const int MAXN = 1e7;
int p[MAXN + 5], ptop;
int pm[MAXN + 5], pk[MAXN + 5];
void sieve() {
int n = MAXN;
pm[1] = 1;
pk[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
if(!pm[i]) {
p[++ptop] = i;
pm[i] = i;
pk[i] = i;
}
for(int j = 1; j <= ptop; j++) {
int t = i * p[j];
if(t > n)
break;
pm[t] = p[j];
if(i % p[j]) {
pk[t] = pk[p[j]];
} else {
pk[t] = pk[i] * p[j];
break;
}
}
//printf("i=%d pm=%d pk=%d\n", i, pm[i], pk[i]);
}
//printf("ptop=%d\n",ptop);
/*for(int i=1;i<=ptop;++i)
printf("%d:%d\n",i,p[i]);*/
}判断一个数是不是质数只需要判断pm[i]==i。判断一个数是不是质数的幂只需要判断pk[i]==i。当然1是奇异的，特殊处理就可以了。
很多时候只是需要质数，那么这样写比较省空间，也比较快。
const int MAXN = 1e7;
int p[MAXN + 5], ptop;
bool pn[MAXN + 5];
void sieve() {
int n = MAXN;
pn[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
if(!pn[i])
p[++ptop] = i;
for(int j = 1; j <= ptop; j++) {
int t = i * p[j];
if(t > n)
break;
pn[t] = 1;
if(i % p[j] == 0)
break;
}
}
printf("ptop=%d\n", ptop);
/*for(int i = 1; i <= ptop; ++i)
printf("%d:%d\n", i, p[i]);*/
}