重学数据结构与算法 -- 1.复杂度分析
极客时间，王争老师 - 《数据结构与算法之美》学习笔记第一篇：复杂度分析。
复杂度量级
大 O 时间（空间）复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间（（额外）空间）随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间（空间）复杂度（asymptotic time(space) complexity），简称时间（空间）复杂度。
粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2^n) 和 O(n!)。
O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
O(m+n)、O(m*n)
代码的复杂度由两个数据的规模来决定。
复杂度分析
最好、最坏时间复杂度（best/worst case time complexity）
平均时间复杂度（average case time complexity）
// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
int i = 0;
int pos = -1;
for (; i < n; ++i) {
if (array[i] == x) {
pos = i;
break;
}
}
return pos;
}这段代码要实现的功能是，在一个无序的数组（array）中，查找变量 x 出现的位置。
对于该例，要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。
我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：
$$\frac{1+2+3+\cdots+n+n}{n+1} = \frac{n(n+3)}{2(n+1)} = O(n)$$
这个结论虽然是正确的，但是计算过程稍微有点儿问题。 这 n+1 种情况，出现的概率并不是一样的。要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2（实际应用场景不同，不一定为 1/2）。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。
前面的推导过程中存在的最大问题就是，没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去，那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样：
$$1\frac{1}{2n}+2\frac{1}{2n}+3\frac{1}{2n}+\cdots+n\frac{1}{2n}+n\frac{1}{2} = \frac{3n+1}{4} = O(n)$$
引入概率之后，前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。
实际上，在大多数情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。像我们上一节课举的那些例子那样，很多时候，我们使用一个复杂度就可以满足需求了。只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。
均摊时间复杂度 （amortized time complexity）
// array 表示一个长度为 n 的数组
// 代码中的 array.length 就等于 n
int[] array = new int[n];
int count = 0;
void insert(int val) {
if (count == array.length) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
sum = sum + array[i];
}
array[0] = sum;
count = 1;
}
array[count] = val;
++count;
}这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，我们用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。
显然，最好为 O(1)，最坏为 O(n)，再看平均。假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：
$$1\frac{1}{n+1}+1\frac{1}{n+1}+\cdots+1\frac{1}{n+1}+n\frac{1}{n+1} = O(1)$$
事实上， 这个例子里的平均复杂度分析其实并不需要这么复杂，不需要引入概率论的知识。
我们先来对比一下这个 insert() 的例子和前面那个 find() 的例子，你就会发现这两者有很大差别。
首先，find() 函数在极端情况下，复杂度才为 O(1)。但 insert() 在大部分情况下，时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下，复杂度才比较高，为 O(n)。这是 insert()第一个区别于 find() 的地方。
再来看第二个不同的地方。对于 insert() 函数来说，O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个 O(n) 插入之后，紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作，循环往复。
所以，针对这样一种特殊场景的复杂度分析，我们并不需要像之前讲平均复杂度分析方法那样，找出所有的输入情况及相应的发生概率，然后再计算加权平均值。针对这种特殊的场景，我们引入了一种更加简单的分析方法：摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字，叫均摊时间复杂度。
继续看这个例子。每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路。
均摊时间复杂度和摊还分析应用场景比较特殊，所以我们并不会经常用到，这里简单总结一下它们的应用场景。
对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。
尽管很多数据结构和算法书籍都花了很大力气来区分平均时间复杂度和均摊时间复杂度，但其实我个人认为，均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度，我们没必要花太多精力去区分它们。你最应该掌握的是它的分析方法，摊还分析。至于分析出来的结果是叫平均还是叫均摊，这只是个说法，并不重要。