高斯混合模型

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高斯混合模型（Gaussian Mixed Model， GMM） 是一种常见的聚类算法，与K均值算法类似，同样使用了EM算法进行迭代计算。 高斯混合模型假设每个簇的数据都是符合高斯分布（又叫正态分布） 的， 当前数据呈现的分布就是各个簇的高斯分布叠加在一起的结果。

下面是一个高斯混合分布得例子，如果只用一个高斯分布来拟合图中的数据，则如下图：

由于图中的数据明显分为两簇，因此只用一个高斯分布来拟合是不合理的，需要推广到多个，如下图就是用两个高斯分布来拟合：

这就引出了高斯混合模型， 即用多个高斯分布函数的线形组合来对数据分布进行拟合。 理论上， 高斯混合模型可以拟合出任意类型的分布。
高斯混合模型的核心思想是， 假设数据事实上有多个类，可以看作其是从多个高斯分布中生成出来的。 在该假设下，每个单独的分模型都是标准高斯模型，其均值\(μ_i\)和方差\(Σ_i\)是待估计的参数。 此外，每个分模型都还有一个参数\(π_i\)，可以理解为权重或生成数据的概率。

所以高斯混合模型的公式是：

其中，K是分布的个数。即表示为K个分布得加权和。
通常我们并不能直接得到高斯混合模型的参数， 而是观察到了一系列数据点， 给出一个类别的数量K后， 希望求得最佳的K个高斯分模型。 因此，高斯混合模型的计算，便成了最佳的均值μ，方差Σ、权重π的寻找。

此时可以使用EM算法框架来求解该最优化的问题。EM算法在最大化目标函数时， 先固定一个变量使整体函数变为凸优化函数， 求导得到最值， 然后利用最优参数更新被固定的变量， 进入下一个循环。

在高斯混合模型中，EM算法的迭代过程如下：

• 1） E步骤。 根据当前的参数， 计算每个点由某个分模型生成的概率

• 2） M步骤。 使用E步骤估计出的概率， 来改进每个分模型的均值， 方差和权重。

我们并不知道最佳的K个高斯分布的各自3个参数，也不知道每个数据点究竟是哪个高斯分布生成的。 所以每次循环时，先固定当前的高斯分布不变，获得每个数据点由各个高斯分布生成的概率。然后固定该生成概率不变，根据数据点和生成概率，获得一个组更佳的高斯分布。循环往复，直到参数的不再变化，或者变化非常小时，便得到了比较合理的一组高斯分布。

高斯混合模型与K均值算法相似，高斯混合模型也可以用于聚类算法，也需要指定K值；要使用EM算法来求解，并且往往都只能收敛到局部最优。
它的优点是，可以给出一个样本属于某个类的概率是多少；不仅可以用于聚类，还可以用于概率密度估计，并且可以用于生产新的样本。