拓扑数据分析TDA，有望打破人工智能黑箱的神奇算法

本文介绍了拓扑数据分析（TDA）的基本原理，给出了案例展示，并指出该方法可以高效地进行可视化分析，有望为人工智能黑箱提供可解释性。近日，中科大潘建伟团队在光量子处理器上成功运行了 TDA 方法，量子版本的 TDA 能够实现对经典最优 TDA 算法的指数级加速。

机器学习和人工智能都是「黑箱」技术——这是使用机器学习、人工智能进行数据研究遭受的批评之一。虽然它们能自动提供有用的答案，但是却不能给人类提供可解读的输出。因此，我们往往不能了解它们在做什么，又是如何做到的。

Ayasdi 对这个问题提出了解决方法，其中利用了该公司的核心技术——拓扑数据分析（TDA）。该方法能够提供强有力的、具有详细解释的输出。然而，在这篇文章中，我们将把工作扩展到目前 TDA 的「比较」方法之外。当前的方法使用的拓扑网络由数据集的数据点（行）构建。在这项新的工作中，Ayasdi 将特征（列）也融合在网络当中，据此展示了一个改进的、易解释的结果。

首先介绍一下该解释方法的工作原理。

假设我们有一个数据集，并且在其中已经辨别出了一些子组。这些子组可能是数据的一个组成部分（例如，某种疾病有许多不同的形式，比如炎症性肠病，或该数据含有一个幸存者/非幸存者的信息），或者说，这些子组是由行集合的某拓扑模型通过分割或热点分析创建的。

如果选择其中的两个子组，Ayasdi 技术允许研究者根据他们的 Kolmogorov-Smirnov 分数（KS 分数）生成特征列表。每个特征有两个分布——每个子组各有一个分布。KS 分数衡量两个子组之间的差异。与本结构相关的也就是标准统计意义上的 P 值。

其解释是，排列在第一位的变量是最能区分两个子组的变量，而其余的特征是按其区分能力排列的。因此，解释机制的输出是一个有序的特征表。通常，通过查看列表能获得有用的解释，即，是何因素导致了不同子组之间的区别。

然而，该列表解释起来往往很复杂。就像 Google 搜索后会得到一长串回复一样，人们很可能会发现列表顶部分布不成比例，较低的响应又不为人们所关注。我们怎样才能进一步提高这些「比较列表」的透明度和可理解性呢？

重要的是，要记住，Ayasdi 构造的拓扑模型假定给出了一个数据矩阵，以及数据集行的差异性或距离函数。通常，该距离函数是欧几里得距离，但是也可以选择其他距离函数，例如相关距离、各种角度距离等。获得数据矩阵 M 后，人们可以将它转置为一个新的矩阵 M^T。其中，初始矩阵的列是转置矩阵的行，反之亦然，如下图所示。

在完成这个操作之后，可以为 M^T 矩阵的行集合（即原始矩阵 M 的列）构建拓扑模型。在集合中，人们可以选择不同的距离函数。我们不会深入讨论这一点，但总而言之，对任何数据矩阵行的通用可选项对于这个新矩阵也适用。

现在，假设我们有一个数据矩阵 M，以及在上述数据集中的一个子组 G。该子组可能通过先验信息得来，也可能通过在 M 矩阵中行的拓扑模型分割得来。对于矩阵 M 中的每一列 c_i（即转置矩阵 M^T 的每一行），我们现在可以计算子组 G 中每一行的均值，即 c_i 的平均值。

我们将把它记为 fi,G。当这个数字包含 i 时，我们在 M^T 的行集合上获得一个函数。因此，再次重申，M 矩阵中的行的一个子组将在 M^T 的行集合上产生一个函数。Ayasdi 拓扑模型的功能之一是，通过对应于节点的行，能够利用数据矩阵的行函数的平均值对拓扑模型的节点进行着色。这对于了解数据属性而言是一个非常有用的方法。尤其地，我们现在可以利用 M^T 矩阵的行集合中子组 G 的着色情况，查看该组的特征。

请看下例。

荷兰癌症研究所（NKI）构建了一个数据集，其中包括来自 272 名乳腺癌患者采样的微阵列分析。本案例中的微阵列分析提供了为研究筛选的一组基因中每个基因的 mRNA 表达水平。从这些基因中，我们选择了 1500 个表达水平最高的基因。我们得到一个 272 x 1500 的矩阵，其中 1500 列对应于数据集中具有最大方差的 1500 个基因，272 行对应于样本总量。对于这个数据集，数据矩阵中行集合的拓扑分析已经在 [1] 和 [2] 中进行了。

我们的拓扑模型展示如下。

上图表明，拓扑模型包括一个很长的「树干」部分，然后分裂成两个「小枝」。在数据集中，存在一个名为 eventdeath 的二进制变量。如果患者在研究期间存活，则 eventdeath = 0；如果患者死亡则 eventdeath = 1。令人感兴趣的是，患者存活情况与图的结构相对应。一种方法是通过变量 eventdeath 的平均值进行着色。其结果如下所示。

我们可以看到，上面的「小枝」呈深蓝色。这表明 eventdeath 变量值低，实际上其值为零——这意味着每个患者都存活了下来。然而，下面「小枝」的存活率差得多，尖端节点几乎完全由无法存活的患者组成。我们希望理解这种现象，看看数据中的哪些特征与「小枝」的产生有关，从而了解变量 eventdeath 的迥异行为。为此，我们可以从拓扑模型中选择多种不同的子组。

在上图中，A 组为高生存率组，B 组为低生存率组，C 组可以表征为与其他两组差异最大的组（根据组间距离进行确定）。如上所述，基于这三个组，我们可以在 1500 个特征上创建 3 个函数。

如果我们建立一组特征的拓扑模型，我们可以用每个函数的平均值来给它着色。下面的三张图片展示了其结果。

在比较 A 组和 B 组着色情况时，我们发现其差异十分显著。A 组着色后，某个区域呈亮红色，而 B 组着色后相应区域呈亮蓝色。结果可见下图。左侧的模型是 A 组着色，右侧模型是 B 组着色。

组 I 和组 II 的颜色明显不同。组 I 在 A 组中主要为红色，而在 B 组中主要为蓝色（小固相区域除外）。组 II 恰好相反，在 A 组中为蓝色，在 B 组中为红色。这些组可能与高雌激素受体表达有关，其中在组 I 中呈正相关，在组 II 中呈负相关。众所周知，雌激素受体表达是乳腺癌存活与否的「强信号」。如果我们比较所有三组（如下图）：

我们也可以看到，C 组似乎是 B 组的一个「较弱」形式，其中右上角的蓝色区域面积较小，下面区域的红色较弱。在左侧的「岛」上，C 组也显示出比 A 、B 组更强的红色着色。理解哪些基因参与了 A、B、C 三组右上角的强红色块将是非常有意思的。此外，研究哪些基因参与了左侧「岛」的表达也很有趣。了解这些基因组需要使用各种基于网络的生物学通路分析的工具。

总而言之，我们已经展示了如何对数据集中的特征空间使用拓扑建模，而不是利用行集合直接从数据集寻找洞察。具有超过 4 个特征的数据集不能直接使用标准图形技术直观地理解，但是具有成百上千个特征的数据集通过这种方式理解起来却很容易。该方法能直接识别行为一致的特征组，这通常在基因组和更普遍的生物学数据的分析中存在。

参考文献

[1] M. Nicolau, A. Levine, and G. Carlsson, Topology based data analysis identifies a subgroup of breast cancers with a unique mutational profile and excellent survival, Proc. Natl. Acad. Sci., vol. 108, no. 17, 7265-7270, (2011).

[2] P. Lum, G. Singh, A. Lehman, T. Ishkhanov, M. Vejdemo-Johansson, M. Alagappan, and G. Carlsson, Extracting insights from the shape of complex data using topology, Scientific Reports 3, Article number 1236, (2013).