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UXE001[1]

之前谈论到“奇偶性”的时候(UX002)，我认为这个名字起得并不好，因为实在是很难从字面上联想到数学性质本身。

所以我建议叫做“对称性”，Y轴对称 和 原点对称。

但是在偶然的一次思路梳理中，我突然明白了“奇偶性”背后的意思。

几天前我查资料的时候，还没有看到网上有这种观点，鉴于这种观点还不为人重视，所以我认为有必要写一篇文章，专门的说一下。

从图像角度看奇偶性

从图像的角度来看，无疑就是Y轴对称和X轴对称，这个完全不用解释，谁都能看懂，重新贴一下之前的图。

典型的具有奇偶性的函数图像：

从函数解析式的角度来看奇偶性

原点对称(奇函数) f(-x)=-f(x)

y轴对称(偶函数) f(-x)=f(x)

定义变换 g 为：改变参数的符号。

从解析的角度来说，“奇偶性”其实探究的是：应用变换g后，函数输出值的变化规律。

最后的规律是：有一种函数符号没有变，有一种函数符号变更了。

符号不变属于运算中“偶数”的性质，符号变更属于运算中“奇数”的性质。[2]

所以这种变换规则(运算)也就叫做函数的“奇偶性”了。[3]

总结

1. 在之后的文章中，“奇偶性”将会被重新启用，主要用于解析式研究和代数计算；“对称性”这种说法仍然会使用，主要用于观察函数图像。
2. 关于“私有定义”和“私有名词”的利弊，在群里刚进行过一次大讨论。我对这次的讨论非常满意，让我对这个问题有了一些新的认识。关于这方面的内容，我将会把它写在常见问题解答(FQA)中，对此感兴趣的可以去看看。

注释

[1] UXE是“换个姿势学数学”的番外篇序号。

[2] 比如，-1×-1=1，当参数的符号都改变时，参数的数量如果是偶数，那么输出值符号反而不变；但是-1×-1×-1=-1，当参数的符号都改变时，参数的数量如果是奇数，那么输出值的符号必然改变。

当然，幂运算中也是如此(幂运算是以上运算规律的一种特殊情况)，所以用幂函数来表示一下，这种性质就显露无疑了。

放上这张图，恐怕没人再不懂了吧：

(发出来之后，有人问我什么样的运算是我说的那样，然后我这么告诉他的，并且骄傲的配图了。所以，加个注释吧。欢迎继续找茬或者赞美。)

[3] 只是一种能“自圆其说”的猜测。至于第一次使用的人是怎么想的，或者是在数学史上，这个命名经历了怎么样的变迁，我是不知道的。

关于本文

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作者信息

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