归并排序

归并排序是一个典型的基于分治的递归算法。它不断地将原数组分成大小相等的两个子数组（可能相差1），最终当划分的子数组大小为1时，将划分的有序子数组组合并成一个更大的有序数组。

　　算法分析：

　　　　分，也就是把原数组划分成两个子数组的过程。

　　　　治，它将两个有序数组合并成一个更大的有序数组。

　　它将数组平均分成两部分：center=（left+right）/2，当数组分的足够小时（数组中只有一个元素时），只有一个元素的数组自然而然地就可以视为是有序的，此时就可以进行合并操作了。因此，上面讲的合并两个有序的子数组，是从只有一个元素的两个字数组开始合并的。

　　合并后的元素个数：从1->2->4->8->...

　　举例：

　　比如初始数组为：[24，13，25，1，2，27，38，15]

　　　　1）分成了两个大小相等的子数组：[24，13，25，1]，[2，27，38，15]

　　　　2）再划分成四个大小相等的子数组：[24，13]，[25，1]，[2，27]，[38，15]

　　　　3）此时，left<right还是成立的，再分为：[24]，[13]，[25]，[1]，[2]，[27]，[38]，[15]

　　此时，有8个小数组，每个数组都可以视为有序的数组！每个数组中的left=right，从递归中返回，故开始执行合并（第21行）：

　　　　merge([24],[13])，得到[13,24]

　　　　merge([25],[1])，得到[1,25]

　　　　......

　　　　最终得到有序数组。

　　复杂度分析：

　　　　归并排序中，用到了一个临时数组，故空间复杂度为O(n)；由归并排序的递归公式：T(n)=2T(n/2)+O(n)，可知时间复杂度为O(nlogn)。

　　　　归并排序中的比较次数是所有排序中最少的。原因是，它一开始是不断地划分，比较只发生在合并各个有序的子数组时。

　　稳定性：

　　　　归并排序是稳定排序，它也是一种十分高效的排序，能利用完全二叉树特性的排序一般性能都不会太差。Java中Arrays.sort()采用了一种名为TimSort的排序算法，就是归并排序的优化版本。从上图中可以看出，每次合并操作的平均时间复杂度为O(n)，而完全二叉树的深度为|O(nlogn)|，总的平均时间复杂度为O(nlogn)。而且，归并排序的最好/最坏平均时间复杂度均为O(nlogn)。

　　算法实现：

第一种方法：

public class MergeSort {
    /*
     * 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个
     * 参数说明：
     *     a -- 包含两个有序区间的数组
     *     start -- 第1个有序区间的起始地址。
     *     mid   -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。
     *     end   -- 第2个有序区间的结束地址。
     */
    public static void merge(int[] a, int start, int mid, int end) {
        int[] tmp = new int[end-start+1];    // tmp是汇总2个有序区的临时区域
        int i = start;            // 第1个有序区的索引
        int j = mid + 1;        // 第2个有序区的索引
        int k = 0;                // 临时区域的索引
        while(i <= mid && j <= end) {
            if (a[i] <= a[j])
                tmp[k++] = a[i++];
            else
                tmp[k++] = a[j++];
        }

        while(i <= mid)
            tmp[k++] = a[i++];

        while(j <= end)
            tmp[k++] = a[j++];

        // 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。
        for (i = 0; i < k; i++)
            a[start + i] = tmp[i];

        tmp=null;
    }

    /*
     * 归并排序(从上往下)
     *
     * 参数说明：
     *     a -- 待排序的数组
     *     start -- 数组的起始地址
     *     endi -- 数组的结束地址
     */
    public static void mergeSortUp2Down(int[] a, int start, int end) {
        if(a==null || start >= end)
            return ;

        int mid = (end + start)/2;
        mergeSortUp2Down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid]
        mergeSortUp2Down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end]

        // a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间，
        // 将它们排序成一个有序空间a[start...end]
        merge(a, start, mid, end);
    }

    /*
     * 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组；
     *             将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。
     *
     * 参数说明：
     *     a -- 待排序的数组
     *     len -- 数组的长度
     *     gap -- 子数组的长度
     */
    public static void mergeGroups(int[] a, int len, int gap) {
        int i;
        int twolen = 2 * gap;    // 两个相邻的子数组的长度

        // 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。
        for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap))
            merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1);

        // 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。
        // 将该子数组合并到已排序的数组中。
        if ( i+gap-1 < len-1)
            merge(a, i, i + gap - 1, len - 1);
    }

    /*
     * 归并排序(从下往上)
     *
     * 参数说明：
     *     a -- 待排序的数组
     */
    public static void mergeSortDown2Up(int[] a) {
        if (a==null)
            return ;

        for(int n = 1; n < a.length; n*=2)
            mergeGroups(a, a.length, n);
    }

    public static void main(String[] args) {
        int i;
        int a[] = {80,30,60,40,20,10,50,70};

        System.out.printf("before sort:");
        for (i=0; i<a.length; i++)
            System.out.printf("%d ", a[i]);
        System.out.printf("\n");
        mergeSortUp2Down(a, 0, a.length-1);        // 归并排序(从上往下)
        //mergeSortDown2Up(a);                    // 归并排序(从下往上)

        System.out.printf("after  sort:");
        for (i=0; i<a.length; i++)
            System.out.printf("%d ", a[i]);
        System.out.printf("\n");
    }
}

　　第二种方法：

public class MergeSortTest { 
    public static void main(String[] args) { 
        int[] data = new int[] { 5, 3, 6, 2, 1, 9, 4, 8, 7 }; 
        print(data); 
        mergeSort(data); 
        System.out.println("排序后的数组："); 
        print(data); 
    } 
    public static void mergeSort(int[] data) { 
        sort(data, 0, data.length - 1); 
    } 
    public static void sort(int[] data, int left, int right) { 
        if (left >= right) 
            return; 
            // 找出中间索引
            int center = (left + right) / 2; 
            // 对左边数组进行递归
            sort(data, left, center); 
　　　　　　　// 对右边数组进行递归
　　　　　　　sort(data, center + 1, right); 
　　　　　　　// 合并
22　　　　　　　 merge(data, left, center, right); 
　　　　　　　print(data); 
　　} 
/** 
* 将两个数组进行归并，归并前面 2 个数组已有序，归并后依然有序
* @param data 
* 数组对象
* @param left 
* 左数组的第一个元素的索引
* @param center 
* 左数组的最后一个元素的索引，center+1 是右数组第一个元素的索引
* @param right 
* 右数组最后一个元素的索引
*/ 
　　public static void merge(int[] data, int left, int center, int right) { 
　　　　// 临时数组
38　　 　　int[] tmpArr = new int[data.length]; 
　　　　// 右数组第一个元素索引
　　　　int mid = center + 1; 
　　　　// third 记录临时数组的索引
　　　　int third = left; 
　　　　// 缓存左数组第一个元素的索引
　　　　int tmp = left; 
　　　　while (left <= center && mid <= right) { 
　　　　　　// 从两个数组中取出最小的放入临时数组
　　　　　　if (data[left] <= data[mid]) { 
　　　　　　　　tmpArr[third++] = data[left++]; 
49　　　　　　 } else { 
　　　　　　　　tmpArr[third++] = data[mid++]; 
　　　　　　} 
　　　　} 
　　　　// 剩余部分依次放入临时数组（实际上两个 while 只会执行其中一个）
　　　　while (mid <= right) { 
　　　　　　tmpArr[third++] = data[mid++]; 
　　　　} 
　　　　while (left <= center) { 
58　　　　　　 tmpArr[third++] = data[left++]; 
　　　　} 
　　　　// 将临时数组中的内容拷贝回原数组中
　　　　// （原 left-right 范围的内容被复制回原数组）
62　　　　 while (tmp <= right) { 
　　　　　　data[tmp] = tmpArr[tmp++]; 
　　　　} 
　　} 
　　public static void print(int[] data) { 
　　　　for (int i = 0; i < data.length; i++) { 
　　　　　　System.out.print(data[i] + "\t"); 
　　　　} 
　　　　System.out.println(); 
　　} 
}