[ch04-05] 梯度下降的三种形式

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4.5 梯度下降的三种形式

我们比较一下目前我们用三种方法得到的w和b的值，见表4-2。

表4-2 三种方法的结果比较

这个问题的原始值是可能是\(w=2，b=3\)，由于样本噪音的存在，使用最小二乘法得到了2.05、2.96这样的非整数解，这是完全可以接受的。但是使用梯度下降和神经网络两种方式，都得到1.71、3.19这样的值，准确程度很低。从图4-6的神经网络的训练结果来看，拟合直线是斜着穿过样本点区域的，并没有在正中央的骨架上。

图4-6 拟合效果

难度是神经网络方法有什么问题吗？

初次使用神经网络，一定有水土不服的地方。最小二乘法可以得到数学解析解，所以它的结果是可信的。梯度下降法和神经网络法实际是一回事儿，只是梯度下降没有使用神经元模型而已。所以，接下来我们研究一下如何调整神经网络的训练过程，先从最简单的梯度下降的三种形式说起。

在下面的说明中，我们使用如下假设，以便简化问题易于理解：

1. 使用可以解决本章的问题的线性回归模型，即\(z=x \cdot w+b\)
2. 样本特征值数量为1，即\(x、w、b\)都是标量
3. 使用均方差损失函数。

计算w的梯度：

\[{\partial{loss} \over \partial{w}} = \frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}}\frac{\partial{z_i}}{\partial{w}}=(z_i-y_i)x_i\]

计算b的梯度：

\[\frac{\partial{loss}}{\partial{b}} = \frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}}\frac{\partial{z_i}}{\partial{b}}=z_i-y_i\]

4.5.1 单样本随机梯度下降

SDG(Stochastic Grident Descent)

样本访问示意图如图4-7所示。

图4-7 单样本访问方式

计算过程

假设一共100个样本，每次使用1个样本：

\(repeat\{ \\\)
\(\quad for \quad i=1,2,3,...,100\{ \\\)
\(\quad \quad z_i = x_i \cdot w + b\\\)
\(\quad \quad dw= x_i \cdot (z_i - y_i)\\\)
\(\quad \quad db= z_i - y_i \\\)
\(\quad \quad w=w-\eta \cdot dw \\\)
\(\quad \quad db=b-\eta \cdot db \\\)
\(\quad\} \\\)
\(\}\)

特点

• 训练样本：每次使用一个样本数据进行一次训练，更新一次梯度，重复以上过程。
• 优点：训练开始时损失值下降很快，随机性大，找到最优解的可能性大。
• 缺点：受单个样本的影响最大，损失函数值波动大，到后期徘徊不前，在最优解附近震荡。不能并行计算。

运行结果

设置batch_size=1，即单样本方式：

if __name__ == '__main__':
    sdr = SimpleDataReader()
    sdr.ReadData()
    params = HyperParameters(1, 1, eta=0.1, max_epoch=100, batch_size=1, eps = 0.02)
    net = NeuralNet(params)
    net.train(sdr)

表4-3 单样本方式的训练情况

损失函数值	梯度下降过程

表4-3的左图，由于我们使用了限定的停止条件，即当损失函数值小于等于0.02时停止训练，所以，单样本方式迭代了300次后达到了精度要求。

右图是w和b共同构成的损失函数等高线图。梯度下降时，开始收敛较快，稍微有些弯曲地向中央地带靠近。到后期波动较大，找不到准确的前进方向，曲折地达到中心附近。

4.5.2 小批量样本梯度下降

Mini-Batch Gradient Descent

样本访问示意图如图4-8所示。

图4-8 小批量样本访问方式

计算过程

假设一共100个样本，每个小批量5个样本：

\(repeat\{ \\\)
\(\quad for \quad i=1,6,11,...,96\{\\\)
\(\quad \quad z_i = x_i \cdot w + b \\\)
\(\quad \quad z_{i+1} = x_{i+1} \cdot w + b \\\)
\(\quad \quad \dots \\\)
\(\quad \quad z_{i+4} = x_{i+4} \cdot w + b \\\)
\(\quad \quad dw= {1 \over 5}\sum_{k=i}^{i+4} x_k \cdot (z_k - y_k) \\\)
\(\quad \quad db= {1 \over 5}\sum_{k=i}^{i+4} (z_k - y_k) \\\)
\(\quad \quad w=w-\eta \cdot dw \\\)
\(\quad \quad db=b-\eta \cdot db \\\)
\(\quad\}\\\)
\(\}\)

上述算法中，循环体中的前5行分别计算了\(z_i, z_{i+1}, ..., z_{i+4}\)，可以换成一次性的矩阵运算。

特点

• 训练样本：选择一小部分样本进行训练，更新一次梯度，然后再选取另外一小部分样本进行训练，再更新一次梯度。
• 优点：不受单样本噪声影响，训练速度较快。
• 缺点：batch size的数值选择很关键，会影响训练结果。

运行结果

设置batch_size=10：

if __name__ == '__main__':
    sdr = SimpleDataReader()
    sdr.ReadData()
    params = HyperParameters(1, 1, eta=0.3, max_epoch=100, batch_size=10, eps = 0.02)
    net = NeuralNet(params)
    net.train(sdr)

表4-4 小批量样本方式的训练情况

损失函数值	梯度下降过程

表4-4的右图，梯度下降时，在接近中心时有小波动。图太小看不清楚，可以用matplot工具放大局部来观察。和单样本方式比较，在中心区的波动已经缓解了很多。

小批量的大小通常由以下几个因素决定：

• 更大的批量会计算更精确的梯度，但是回报却是小于线性的。
• 极小批量通常难以充分利用多核架构。这决定了最小批量的数值，低于这个值的小批量处理不会减少计算时间。
• 如果批量处理中的所有样本可以并行地处理，那么内存消耗和批量大小成正比。对于多硬件设施，这是批量大小的限制因素。
• 某些硬件上使用特定大小的数组时，运行时间会更少，尤其是GPU，通常使用2的幂数作为批量大小可以更快，如32 ~ 256，大模型时尝试用16。
• 可能是由于小批量在学习过程中加入了噪声，会带来一些正则化的效果。泛化误差通常在批量大小为1时最好。因为梯度估计的高方差，小批量使用较小的学习率，以保持稳定性，但是降低学习率会使迭代次数增加。

在实际工程中，我们通常使用小批量梯度下降形式。

4.5.3 全批量样本梯度下降

Full Batch Gradient Descent

样本访问示意图如图4-9所示。

图4-9 全批量样本访问方式

计算过程

假设一共100个样本，每次使用全部样本：

\(repeat\{ \\\)
\(\quad z_1 = x_1 \cdot w + b \\\)
\(\quad z_2 = x_2 \cdot w + b \\\)
\(\quad \dots \\\)
\(\quad z_{100} = x_{100} \cdot w + b \\\)
\(\quad dw= {1 \over 100}\sum_{i=1}^{100} x_i \cdot (z_i - y_i) \\\)
\(\quad db= {1 \over 100}\sum_{i=1}^{100} (z_i - y_i) \\\)
\(\quad w=w-\eta \cdot dw \\\)
\(\quad db=b-\eta \cdot db \\\)
\(\}\)

上述算法中，循环体中的前100行分别计算了\(z_1, z_2, ..., z_{100}\)，可以换成一次性的矩阵运算。

特点

• 训练样本：每次使用全部数据集进行一次训练，更新一次梯度，重复以上过程。
• 优点：受单个样本的影响最小，一次计算全体样本速度快，损失函数值没有波动，到达最优点平稳。方便并行计算。
• 缺点：数据量较大时不能实现（内存限制），训练过程变慢。初始值不同，可能导致获得局部最优解，并非全局最优解。

运行结果

if __name__ == '__main__':
    sdr = SimpleDataReader()
    sdr.ReadData()
    params = HyperParameters(1, 1, eta=0.5, max_epoch=1000, batch_size=-1, eps = 0.02)
    net = NeuralNet(params)
    net.train(sdr)

设置batch_size=-1，即是全批量的意思。

表4-5 全批量样本方式的训练情况

损失函数值	梯度下降过程

表4-5中的右图，梯度下降时，在整个过程中只拐了一个弯儿，就直接到达了中心点。

4.5.4 三种方式的比较

表4-6 三种方式的比较

	单样本	小批量	全批量
梯度下降过程图解
批大小	1	10	100
学习率	0.1	0.3	0.5
迭代次数	304	110	60
epoch	3	10	60
结果	w=2.003, b=2.990	w=2.006, b=2.997	w=1.993, b=2.998

表4-6比较了三种方式的结果，从结果看，都接近于\(w=2,b=3\)的原始解。最后的可视化结果图如图4-10，可以看到直线已经处于样本点比较中间的位置。

图4-10 较理想的拟合效果图

相关的概念：

• Batch Size：批大小，一次训练的样本数量。
• Iteration：迭代，一次正向 + 一次反向。
• Epoch：所有样本被使用了一次，叫做一个Epoch，中文的翻译比较杂乱，所以干脆就用原文比较清楚。

假设一共有样本1000个，batch size=20，则一个Epoch中，需要1000/20=50次Iteration才能训练完所有样本。

代码位置

ch04, Level5

思考与练习

1. 调整学习率、批大小等参数，观察神经网络训练的过程与结果
2. 进一步提高精度（设置eps为更小的值），观察w和b的结果值以及拟合直线的位置
3. 用纸笔推算一下矩阵运算的维度。假设：
   • X (4x2)
   • W (2x3)
   • B (1x3)