2008 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

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题目

设函数 $f(x)=\int_{0}^{x^{2}}\ln(2+t)dt$, 则 $f'(x)$ 的零点个数（）

( A ) $0.$

( B ) $1.$

( C ) $2.$

( D ) $3.$

解析

本题可以使用积分和导数的相关定理解出。

涉及到的积分知识如下：

(1) 定积分基本性质

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt;$

(2) 变上限积分函数求导

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $F'(x)=f(x)$.
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$\phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，设$F(x)=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt$, 则：

  $F'(x)=f[\phi(x)]\cdot\phi'(x)$.

涉及到的求导知识如下：

$(x^{a})'=ax^{a-1};$

此外，我们需要知道的是，“函数零点”指的是 $f(x)=0$ 时，对应的自变量 $x$ 的数值，“函数零点” 不是一个点，而是一个数值。

解题思路如下：

根据变上限积分函数求导法则，有：

$f'(x)=\ln(2+x^{2})\cdot(x^{2})'=2x\ln(2+x^{2}).$

则要求函数 $f'(x)$ 的零点的个数，就是求 $2x\ln(2+x^{2})=0$ 的解的个数。

要使 $2x\ln(2+x^{2})=0$ 成立，则有以下三种情况（分情况讨论时要注意“不重不漏”）：

(1) $2x=0 且 \ln(2+x^{2})\neq0$

此时解出 $x=0$.

(2) $2x\neq0 且 \ln(2+x^{2})=0$

无解。

由于 $1+x^{2}\geq2$ 始终成立，而且当 $x=1$ 时，$\ln(x)=0$, 当 $x>1$ 时，$\ln(x)>0$.

所以，$\ln(2+x^{2})>0$ 始终成立，与 $x$ 轴没有交点。

(3) $2x=0 且 \ln(2+x^{2})=0$

$2x=\ln(2+x^{2})=0 \Rightarrow 无解$.

综上可知，当 $2x\ln(2+x^{2})=0$ 时，有：

$x=0$.

因此，只有一个零点，答案是：B

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