机器不学习：深度学习训练淫技3 批梯度下降 随机梯度下降

一、梯度下降法

在机器学习算法中，对于很多监督学习模型，需要对原始的模型构建损失函数，接下来便是通过优化算法对损失函数进行优化，以便寻找到最优的参数。在求解机器学习参数的优化算法中，使用较多的是基于梯度下降的优化算法(Gradient Descent, GD)。

梯度下降法有很多优点，其中，在梯度下降法的求解过程中，只需求解损失函数的一阶导数，计算的代价比较小，这使得梯度下降法能在很多大规模数据集上得到应用。梯度下降法的含义是通过当前点的梯度方向寻找到新的迭代点。

基本思想可以这样理解：我们从山上的某一点出发，找一个最陡的坡走一步（也就是找梯度方向），到达一个点之后，再找最陡的坡，再走一步，直到我们不断的这么走，走到最“低”点（最小花费函数收敛点）。

二、梯度下降法的变形形式

在具体使用梯度下降法的过程中，主要有以下几种不同的变种，即：batch、mini-batch、SGD。其主要区别是不同的变形在训练数据的选择上。

1、批量梯度下降法BGD

批梯度下降法(Batch Gradient Descent)针对的是整个数据集，通过对所有的样本的计算来求解梯度的方向。

批量梯度下降法的损失函数为：

进一步得到批量梯度下降的迭代式为：

每迭代一步，都要用到训练集所有的数据，如果样本数目很大，那么可想而知这种方法的迭代速度！

优点：全局最优解；易于并行实现；

缺点：当样本数目很多时，训练过程会很慢。

从迭代的次数上来看，BGD迭代的次数相对较少。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下：

2、小批量梯度下降法MBGD

在上述的批梯度的方式中每次迭代都要使用到所有的样本，对于数据量特别大的情况，如大规模的机器学习应用，每次迭代求解所有样本需要花费大量的计算成本。是否可以在每次的迭代过程中利用部分样本代替所有的样本呢？基于这样的思想，便出现了mini-batch的概念。

假设训练集中的样本的个数为1000，则每个mini-batch只是其一个子集，假设，每个mini-batch中含有10个样本，这样，整个训练数据集可以分为100个mini-batch。伪代码如下：

3、随机梯度下降法SGD

随机梯度下降算法(stochastic gradient descent)可以看成是mini-batch gradient descent的一个特殊的情形，即在随机梯度下降法中每次仅根据一个样本对模型中的参数进行调整，等价于上述的b=1情况下的mini-batch gradient descent，即每个mini-batch中只有一个训练样本。

随机梯度下降法的优化过程为：

随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次，如果样本量很大的情况（例如几十万），那么可能只用其中几万条或者几千条的样本，就已经将theta迭代到最优解了，对比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十几万训练样本，一次迭代不可能最优，如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是，SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。

优点：训练速度快；

缺点：准确度下降，并不是全局最优；不易于并行实现。

从迭代的次数上来看，SGD迭代的次数较多，在解空间的搜索过程看起来很盲目。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下：

三 、通俗的理解梯度下降

（1）批量梯度下降—最小化所有训练样本的损失函数（对全部训练数据求得误差后再对参数进行更新），使得最终求解的是全局的最优解，即求解的参数是使得风险函数最小。批梯度下降类似于在山的某一点环顾四周，计算出下降最快的方向（多维），然后踏出一步，这属于一次迭代。批梯度下降一次迭代会更新所有theta，每次更新都是向着最陡的方向前进。

（2）随机梯度下降—最小化每条样本的损失函数，虽然不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优方向， 但是大的整体的方向是向全局最优解的，最终的结果往往是在全局最优解附近。随机也就是说我用样本中的一个例子来近似我所有的样本，来调整theta，其不会计算斜率最大的方向，而是每次只选择一个维度踏出一步；下降一次迭代只更新某个theta，报着并不严谨的走走看的态度前进。

四、Batch_Size 的解释

Batch_Size（批尺寸）是机器学习中一个重要参数，涉及诸多矛盾，下面逐一展开。

1，首先，为什么需要有 Batch_Size 这个参数？

Batch 的选择，首先决定的是下降的方向。如果数据集比较小，完全可以采用全数据集 （ Full Batch Learning ）的形式，这样做至少有 2 个好处：其一，由全数据集确定的方向能够更好地代表样本总体，从而更准确地朝向极值所在的方向。其二，由于不同权重的梯度值差别巨大，因此选取一个全局的学习率很困难。 Full Batch Learning 可以使用 Rprop 只基于梯度符号并且针对性单独更新各权值。

对于更大的数据集，以上 2 个好处又变成了 2 个坏处：其一，随着数据集的海量增长和内存限制，一次性载入所有的数据进来变得越来越不可行。其二，以 Rprop 的方式迭代，会由于各个 Batch 之间的采样差异性，各次梯度修正值相互抵消，无法修正。这才有了后来 RMSProp 的妥协方案。

2，既然 Full Batch Learning 并不适用大数据集，那么走向另一个极端怎么样？

所谓另一个极端，就是每次只训练一个样本，即 Batch_Size = 1。这就是在线学习（Online Learning）。线性神经元在均方误差代价函数的错误面是一个抛物面，横截面是椭圆。对于多层神经元、非线性网络，在局部依然近似是抛物面。使用在线学习，每次修正方向以各自样本的梯度方向修正，横冲直撞各自为政，难以达到收敛。如图所示：

3，可不可以选择一个适中的 Batch_Size 值呢？

当然可以，这就是批梯度下降法（Mini-batches Learning）。因为如果数据集足够充分，那么用一半（甚至少得多）的数据训练算出来的梯度与用全部数据训练出来的梯度是几乎一样的。

4，在合理范围内，增大 Batch_Size 有何好处？

内存利用率提高了，大矩阵乘法的并行化效率提高。

跑完一次 epoch（全数据集）所需的迭代次数减少，对于相同数据量的处理速度进一步加快。

在一定范围内，一般来说 Batch_Size 越大，其确定的下降方向越准，引起训练震荡越小。

5，盲目增大 Batch_Size 有何坏处？

内存利用率提高了，但是内存容量可能撑不住了。

跑完一次 epoch（全数据集）所需的迭代次数减少，要想达到相同的精度，其所花费的Batch_Size 增大到一定程度，其确定的下降方向已经基本不再变化。

6，调节 Batch_Size 对训练效果影响到底如何？

这里跑一个 LeNet 在 MNIST 数据集上的效果。MNIST 是一个手写体标准库，我使用的是 Theano 框架。这是一个 Python 的深度学习库。安装方便（几行命令而已），调试简单（自带 Profile），GPU / CPU 通吃，官方教程相当完备，支持模块十分丰富（除了 CNNs，更是支持 RBM / DBN / LSTM / RBM-RNN / SdA / MLPs）。在其上层有 Keras 封装，支持 GRU / JZS1, JZS2, JZS3 等较新结构，支持 Adagrad / Adadelta / RMSprop / Adam 等优化算法。如图所示：

运行结果如上图所示，其中绝对时间做了标幺化处理。运行结果与上文分析相印证：

Batch_Size 太小，算法在 200 epoches 内不收敛。

随着 Batch_Size 增大，处理相同数据量的速度越快。

随着 Batch_Size 增大，达到相同精度所需要的 epoch 数量越来越多。

由于上述两种因素的矛盾， Batch_Size 增大到某个时候，达到时间上的最优。

由于最终收敛精度会陷入不同的局部极值，因此 Batch_Size 增大到某些时候，达到最终收敛精度上的最优。