算法导论红黑树的探讨

第一部分：红黑树表示与旋转

红黑树是一种平衡二叉树，其性质不再赘述。
红黑树的数据结构如下：

#define RED 0
#define BLACK 1
#define INFINITY 345879790
struct RB_node
{
  RB_node *left;  //左孩子
  RB_node *right; //右孩子
  RB_node *parent; //父节点
  int color;   //结点的颜色
  int key;
  RB_node(RB_node* init,int c_init,int num):left(init),right(init),parent(init),color(c_init),key(num){}
};
struct RB_tree
{
  RB_tree *root;
  RB_tree *nil;
  RB_tree()
  {
    nil=new RB_node(NULL,BLACK,INFINITY);   //树的哨兵必然为黑色
    root=nil;
  }
};

值得特别说明的是，这里的T->nil表示的是哨兵结点，是为了方便之后的运算。

红黑树的旋转过程，如下图所示：

注意旋转的前后，从左到右，子树依次是y->left y->right x->right，但是y->right的parent变成了x了！

红黑树旋转的过程如下给出：

#include "RB_tree.h"
void left_rotate(RB_tree *T,RB_node *x)
{
  RB_node *y=x->right;  //左孩子结点
  x->right=y->left;
  //这一部处理的是加在x，y之间的“内结点”，y->left原先
  //夹在x->left和y->right之间，旋转之后子树的相对顺序不变，最外边的结点是
  //x->left和y->right，注意是围绕x和y进行的旋转，所以子树的相对位置保持不变
  if(y!=NULL && y->left!=NULL)
    y->left->parent=x;
  //旋转之后需要重新更新parent结点信息
  y->parent=x->parent;  //这个时候y作为子树的根了，y要连到祖先中！
  if(x->parent==NULL)
    T->root=y;
  else if(x->parent->left==x)
     x->parent->left=y;
  else
      x->parent->right=y;
   //保证x与祖先结点相连接
   //最后处理x和y的关系
   y->left=x;
   x->parent=y;
}
//右旋，对称的代码
void right_rotate(RB_tree *T,RB_node *x)
{
  //只需要把上述代码的相对位置，right和left互换就可以了
   RB_node *y=x->left;
   x->left=y->right;
   if(y!=NULL && y->right!=NULL)
     y->right->parent=x;
   //旋转之后需要重新更新parent结点信息
   y->parent=x->parent;
   if(x->parent==NULL)
     T->root=y;
   else if(x->parent->left==x)
      x->parent->left=y;
   else
       x->parent->right=y;
    //保证x与祖先结点相连接
    //最后处理x和y的关系
    y->right=x;
    x->parent=y;
}

红黑树的旋转左旋和右旋是对称的。

第二部分：红黑树的插入和性质的维护

#include "RB_tree.h"
void RB_insert_fixup(RB_tree *T, RB_node *z);
void RB_insert(RB_tree *T, RB_node *z)
{
  RB_node *y=NULL;
  //y作为遍历指针的双亲
  RB_node *x=T->root;
  while(x!=NULL)
  {
    y=x;
    if(z->key<x->key)
      x->x->left;
    else x=x->right;
  }
  z->parent=y;
  //y作为遍历指针x的母结点，x遍历寻找合适的插入位置
  if(y==NULL)
    T->root=z;
  else if(z->key<y->key)
    y->left=z;
  else y->right=z;
  z->left=NULL;
  z->right=NULL;
  z->parent=RED;
  RB_insert_fixup(T,z);   //最后插入的结点是红色的，与此同时进行红黑树性质的调整
}
void RB_insert_fixup(RB_tree *T,RB_node *z)
{
  while(z->parent->color==RED)
  {
    if(z->parent==z->parent->parent->left)
    {
      RB_node *y=z->parent->parent->right;  //设置叔结点
      if(y->color==RED)
      {
        z->parent->color=BLACK;   //父节点的黑色可以下放给两个结点
        y->color=BLACK;
        z->parent->parent->color=RED;
        z=z->parent->parent;   //z沿树上升
      }
      else
      {
        if(z==z->parent->right)   //内结点先旋转成外节点
        {
          z=z->parent;
          left_rotate(T,z);
        }
        z->parent->color=BLACK;    //改变颜色之后，z的兄弟结点和z颜色相同
        z->parent->parent->color=RED;  //红黑树局部恢复平衡
        right_rotate(T,z->parent->parent);  //这个技巧是：改变颜色之后，然后旋转，这样不破坏红黑树性质
      }                                     //与此同时，结点沿树上升
    }
    else
    {
      RB_node *y=z->parent->parent->left;
      if(y->color==RED)
      {
        z->parent->color=BLACK;
        y->color=BLACK;
        z->parent->parent->color=RED;
        z=z->parent->parent;
      }
      else
      {
        if(z==z->parent->left)
        {
          z=z->parent;
          right_rotate(T,z);
        }
        z->parent->color=BLACK;
        z->parent->parent->color=RED;
        left_rotate(T,z->parent->parent);
      }
    }
  }
  T->root->color=BLACK;
}

实现过程说明：
红黑树的插入是比较容易理解的，下面着重来讨论红黑树插入的调整：

情形一：

这个时候只要把根部A这个点的黑色，下放给两个孩子结点，这样红黑树的性质得到保持，这个时候刚插入的节点沿树上升就可以了。

情形二：

如果z是内节点，要首先旋转成外结点，因为外节点的相对位置是不变的，内节点在旋转的过程中还会更换parent！所以用外节点处理方便，值得注意的是，在旋转过程中，z的相对高度要保持不变，所以要执行z=z->parent，然后再旋转！这样沿树上升的时候，保证所有的结点都得到处理！

最后一步改变颜色，做到了红黑树的局部平衡，这个时候改变颜色之后再执行旋转，不破坏红黑树的平衡性，与此同时，z结点沿树上升，这样局部平衡得到保持。最后只要树根置为black就可以了。

第三部分：红黑树的删除

红黑树删除的代码和普通二叉树的删除没有多少区别，主要是要关注：
删除一个结点之后，记得寻找这个结点的后继，后继不一定是right，而是min(x->right)

#include "RB_tree.h"
//删除调整，这个时候x有两重黑色
void RB_delete_fixup(RB_tree *T, RB_node *x)
{
  RB_node *w=NULL;
  while (x!=T->root && x->color==BLACK)
  {
    if(x==x->parent->left)
    {
      w=x->parent->right;   //w为x的兄弟结点
      if(w->color==RED)
      {
        w->color=BLACK;    //将这种情况划归为下面一种情况
        w->parent->color=RED;
        left_rotate(T,x->parent);
        w=x->parent->right;
      }
      if(w->left->color==BLACK && w->right->color==BLACK)
      {
        W->color=RED;
        x=x->parent;      //x和w的黑色沿树上升，注意到x有双重黑色，所以x的颜色不变
      }                  //变得是w，x->parent的颜色
      else
      {
        if(w->right->color==BLACK)
        {
          w->left->color=BLACK;
          w->color=RED;         //同样，内节点变为外节点
          right_rotate(T,w);
          w=x->parent-?right;
        }
        w->color=x->parent->color;   //这里x->parent的颜色不确定，但是w的颜色是黑色
        //x有双重黑色，通过改变颜色加上旋转，可以将双重黑色表现在图中，这样完成了红黑树的局部平衡
        x->parent->color=BLACK;
        w->right->color=BLACK;
        left_rotate(T,x->parent);
        //红黑树局部平衡了
        x=T->root;
      }
    }
    else
    {
      w=x->parent->left;
      if(w->color==RED)
      {
        w->color=BLACK;
        x->parent->color=RED;
        right_rotate(T,x->parent);
        w=x->parent->left;
      }
    }
    if(w->left->color==BLACK && w->right->color==BLACK)
    {
      w->color=RED;
      x=x->parent;
    }
    else
    {
      if(w->left->color==BLACK)
      {
        w->right->color=BLACK;
        W->color=RED;
        left_rotate(T,w);
        w=x->parent->left;
      }
      w->color=x->parent->color;
      x->parent->color=BLACK;
      w->left->color=BLACK;
      right_rotate(T,x->parent);
      x=T->root;
    }
  }
  x->color=BLACK;
}
void transplant(RB_tree *T, RB_node *u, RB_node *v)
{
  if(u->parent==T->nil)
    T->root=v;
  else if(u==u->parent->left)
    u->parent->left=v;
  else u->parent->right=v;
  if(v!=NULL)
    v->parent=u->parent;
}
RB_node *tree_minimum(RB_tree *T,RB_node *x)
{
  while (x->left!=NULL) {
    x=x->left;
  }
  return x;
}
void RB_delete(RB_tree *T, RB_node *z)
{
  RB_node *y=z, *x;
  int y_original_color=y->color;
  if(z->left==NULL)
  {
    x=z->right;
    transplant(T,z,z->right);
  }
  else if(z->right==NULL)
  {
    x=z->left;
    transplant(T,z,z->left);
  }
  else
  {
    y=tree_minimum(T,z->right);   //这里是查找z的后继，为y，用y来代替z的位置
    y_original_color=y->color;
    x=y->right;
    if(y->parent==z)
    {
      x->parent=y;
    }
    else
    {
      transplant(T,y,y->right);
      y->right=z->right;
      y->right->parent=y;
    }
    transplant(T,z,y);
    y->left=z->left;
    y->left->parent=y;
    y->color=z->color;
  }
  if(y_original_color==BLACK)
     RB_delete_fixup(T,x);   //x为y的孩子结点，y的删除会影响x的相关性质
}

具体来看红黑树删除的调整：

情形一：
这个时候x的兄弟节点w是red，一个红节点必然跟着两个黑节点，这个时候改变颜色，并且执行旋转，可以将这种情况划归为第二种情况，就是x和w都是黑色。为什么要这么做？主要的原因是x有双重黑色，我们需要让x的黑色沿树上升，w的黑色也沿树上升，w为白色，要想办法让它变成黑色。改变颜色+旋转是常用的方法。

情形二：

这个时候需要让x和w的黑色都沿树上升。注意到这个时候x有双重黑色，所以x的黑色不改变。

情形三：

这个时候和插入调整一样，内节点要转化成外节点。
值得注意的是，这个时候w->left的颜色一定是red，因为不是的话就变成了第二种情况啦！
这个时候红色的结点是内结点，要将它旋转成外节点处理，理由在插入调整的过程中已经说了很清楚了。

情形四：

这个时候要注意的是：x->parent的颜色没有确定下来，但是w的颜色一定是black。
交换颜色的代码是：

w->color=x->parent->color;
x->parent->color=BLACK;
w->right->color=BLACK;

如图所示，改变颜色+完成旋转之后，x的双重黑色已经体现出来了。这个时候红黑树达到了局部平衡。
所以将x置为根节点，确定颜色为黑色就可以了。

第四部分：算法导论课后习题解答

13.1红黑树的性质

13.1-1

13.1-2
1、不行，违反性质4
2、不行，违反性质5

13.1-3
是，我们在调整过程中就是利用松弛红黑树的性质，最后将T->root-color置为black。

13.1-4
红黑树的黑高为从该点开始，所含有的黑节点的个数，所以红黑树的黑高保持不变。
可能的度为：
2 这个时候它的两个子节点原来都是黑色
3 这个时候一个子节点为红色，另一个为黑色，红色子节点又跟随两个黑色子节点，度为3
4 两个子节点都是红色

13.1-5

$rh(x)≤bh(x)$
$h(x)=rh(x)+bh(x)≤2bh(x)$

其中，rh(x)表示红高，bh(x)表示黑高

所以最长的一条最多是最短一条的两倍

13.1-6

黑高为k，内部节点最少为：$2^k-1$
最多为：
由13.1-5的结论，最长路径$≤2k+1$
最多节点为： $2^{2k+1}−1$

13.1-7

比值最小为0，结点全部为黑色。
比值最大为2：1
参见13.1-1图，一个black两个结点都是红的，每个红节点又有两个黑节点，红节点和黑节点的比值为：
4：2=2（内部节点，不算根节点）

13.2旋转

13.2-1
已写出

13.2-2

n个节点有n-1条边，所以可能有n-1种旋转

13.2-3

可以发现b的深度不变，a的深度增加，c的深度减少

13.2-4

最坏的情况，仅有左子树，假设左子树有n个节点，可以看出左子树旋转成右子树需要n-1次。
这样左子树变成一条右侧伸展的链。

从左侧伸展的链旋转成为右侧伸展的链，最坏需要n-1的时间，其余任何一种情况，所需时间均少于
n-1

13.2-5

T1可以右转成T2，可知若有i个结点，需要旋转i-1条边

$$
sum_{i = 1}^n a_i=O(n^2)
$$

13.3插入

13.3-1

如果将z染色成黑色，很显然违反红黑树性质5，违反红黑树性质5，做调整的时候是针对高度来调整。
这个时候红黑树还必须满足一种高度平衡：就是任意路径，从root到nil，红黑树的黑高差恒等于0
在调整的时候比较麻烦。实际上这是属于类AVL树了。

高度平衡的二叉树，是AVL树，这是另外一种平衡二叉树。

13.3-2

13.3-3

13.3-4

z为叶子节点，则z->parent为根节点。根节点的颜色肯定恒为黑色，这个时候退出循环while(z->parent->color==RED)
那么也就遍历不到z->parent->parent了。

13.3-5

插入的n-1个节点都为black，当插入第n个节点的时候，新插入的节点为红色，满足红黑树性质。

13.3-6

RB_node *tree_search(RB_tree *T, RB_node *x, int k, RB_node *par, RB_node *p_par)
{
  //人为定义一个tree_search函数，从根节点遍历，寻找x的parent和parent->parent
  while(x!=T->nil && k!=x->key)
  {
    par=x;
    if(k<x->key)
      x=x->left;
    else x=x->right;
    if(k!=x->key)     //如果没有找到待查找的值，此时x=x->child
    {                 //记录下遍历前的x=p_par，遍历后的x=par，返回x，此时用par和p_par表示
      p_par=par;
      par=x;
    }
  }
  return x；
}
void RB_insert_fixup(RB_tree *T, RB_node *z)
{
  //相关代码
  RB_node *par=T->nil, *p_par=T->nil;
  tree_search(T,T->root,z->key,par,p_par);
  //将原来的z->parent用par代替，z->parent->parent用p_par代替
}

13.4删除

13.4-1
在执行RB_delete_fixup之后，可以发现，x=root, x->color=BLACK，所以树根一定是黑色的

13.4-2

此时不进入循环，x->color=BLACK，恢复性质4

13.4-3

13.4-4

1) 1、4、5行检查哨兵，因为被删除的节点没有孩子，所以检查T->nil的情况
2) 左旋，右旋的时候，w的兄弟没有孩子，此时检查哨兵

13.4-5
检查在稿纸上进行

13.4-6

情况一，w的颜色为红色，所以x->parent的颜色一定是黑色

13.4-7

不一样
如下图