计量经济与时间序列_关于自协方差函数与自相关函数的有偏估计和无偏估计的解释

1之前说过，运用统计分析常用的观测方式（观测尺度、观测量度）有均值、方差、协方差、自相关、偏相关。但是对于像时间序列这样一维的数据构成特点。有自有的自协方差、自相关和自偏相关，方式和方法也是引用统计分析的度量方式，根据均值为0，方差为常数等特点，略加改变，形成时间序列这种数据特有的一种“自”度量方式。

2关于自协方差这块，我们可以看一下这两个公式：

3关于自相关这块儿，我们也可以看到两个公式：

4有偏和无偏有这么一种关系：

5在k=0，起始值的时候，自相关和自协方差有如下性质：

62.3.4.5这里面的解释如下：

(1)有偏估计和无偏估计，我们发现在有偏估计和无偏估计的区别知识在求E，也就是求平均值的count个数的时候有区别，这个区别导致有偏和无偏的区别。把上面的公式用大白话来解释就是，有偏估计的长度n是总体抽样的长度，不随着每次计算而改变，统一是一个除数长度；无偏估计的长度是n-k，和Σ求和的右端n-k是一样的，也就是说，随着取的k长度不一样，每次除数是和取样k长度的个数一致的。一句话叫：统一除一个长度，就有偏了；随着取样变化，就无偏的。这就很好理解作为每次计算的自协方差为一个独立观察，就观察这次的自协方差，肯定是无偏，因为长度跟我的一致(n-k)。如果作为一个总体序列来观察每次自协方差情况，不光观察这一次的自协方差情况，相对于总体的这个自协方差是什么关系，这样长度必须要保持不变为n。

(2)关于这个问题，为了只管理解，举一个例子：

比如我要对某一个学校一个年级的上千个学生估计他们的平均水平(真实值，上帝才知道的数字)，那么我决定抽样来计算。

我抽出10个人的一个样本，可以计算出均值。那么如果我下次重新抽样，抽到10个人可能不一样了，那么从这个样本里面计算出来的均值可能就变化了。

因为这个均值是随着我抽样变化的，每次这10个人的均值也是随机变化的，但是随着我每次都抽10个人样本抽样次数越多，这个均值累计起来的大小会符合某一种分布。这种叫做渐进无偏性。说白了渐进无偏性叫放到历史长河中，你我不过是沧海一粟。就这个道理。

但是，我再改一下，我不每次固定10个人做为一个样本抽样。我每次不一定抽几个人作为一个样本进行抽样。这里的n就不一定了。如果我们已知总体(或者你抽样的总体的个数),这个n就是确定的，但是换句话来说，真实情况都属于上帝。但是我们不知道真实的总体，但我们可以知道每次抽样，就这个抽样来讲，他的最优或者最真实的部分就不应该是n了，应该是n-k个样本，因此，这叫无偏估计，是局部或者说每次的一个最优情况，也是总体最优情况中的一部分而已。

(3)但是这里要注意一点的是：最优包含无偏，无偏是最优的一部分，有偏是无限趋近于最优；但归根接地，真正的最优只有上帝知道。关于这个理解我们一定要理解两个词，一个叫包含和部分、趋近和渐进。是一件事的两个不同方面和角度。

(4)另外，我们这里知道了n-k这个东西。零还有x/n-k 或者1/n-k等等，如果除以这个n-k，这个玩意儿很多时候都能见到，叫做自由度。在整个一个大群体中你没有自由，所有就是n，但是在微观的情况下，每个个体也是不一样的，所以他们自己的由度，就是自由度。n-k就很容易理解了吧。属于一种无偏估计。

7另外说一下的是，在Eviews软件中关于自协方差和偏自相关函数的计算等，都用的是有偏估计，不是用的无偏估计。但是计算AIC等准则和其他东西，用的是无偏估计，因为有一个n-k自由度。因此n-k自由度是一个辨识无偏估计和有偏估计的重要标记。关于这个地方说的应该已经很透彻了，所以关于数学公式，数学字母，重中之重不是解题技巧，解题技巧就那么一种，重要的是对于公式和字母背后的逻辑和想要表达的东西。

8最近越来越发现，数学语言更像是佛学理论，佛学语言。属于一种高度哲学。其实也对，看看历史的发展，数学就是来自于哲学！亚里士多德，毕达哥拉斯等等。没毛病！