回文

利用python 自带的翻转 函数reversed

自己实现

最长的回文子串

暴力破解

暴力破解，枚举所有的子串，对每个子串判断是否为回文， 时间复杂度为 O(n^3)

动态规划

时间复杂度为 O(n^2), 空间复杂度为 O(n^2)

Manacher 算法

Manacher 算法首先对字符串做一个预处理,使得所有的串都是奇数长度, 插入的是同样的符号且符号不存在与原串中，串的回文性不受影响

我们把回文串中最右位置与其对称轴的距离称为回文半径，Manacher 算法定义了一个回文半径数组 RL，RL[i]表示以第 i 个字符为对称轴的回文半径，对于上面得到的插入分隔符的串来说，我们可以得到 RL数组

我们还求了 RL[i] - 1: 我们发现RL[i] -1 正好是初始字符串中以位置i 为对称轴的最长回文长度

所以下面就是重点如何求得 RL 数组了

下面是算法实现

空间复杂度：借助了一个辅助数组，空间复杂度为 O(n)

时间复杂度：尽管内层存在循环，但是内层循环只对尚未匹配的部分进行，对于每一个字符来说，只会进行一次，所以时间复杂度是 O(n)

最长回文前缀

所谓前缀，就是以第一个字符开始

下面的最长回文前缀

将原串逆转，那么问题就转变为求原串的前缀和逆串后缀相等且长度最大的值, 这个问题其实就是 KMP 算法中的 next 数组的求解了

具体求解： 将原串逆转并拼接到原串中， 以’#’ 分隔原串和逆转避免内部字符串干扰。

添加字符生成最短回文字符串

这道题其实跟上面基本是一样的，

实例：

我们先求字符串的最长回文前缀, 然后剩余的字符串逆转并拼接到字符串的头部即是问题所求

最长回文子序列

动态规划法

dp[i][j] 表示子序列 s[i..j] 中存在的最长回文子序列长度

初始化dp[i][i] = 1

当 s[i] == s[j] 为 true 时，dp[i][j] = dp[i+1][j - 1] + 2

当 s[i] == s[j] 为 false 时，dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j - 1])

时间复杂度为 O(n^2), 空间复杂度为 O(n^2)

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