数据结构--堆的实现之深入分析
一，介绍
以前在学习堆时，写了两篇文章：数据结构--堆的实现(上) 和 数据结构--堆的实现(下)， 感觉对堆的认识还是不够。本文主要分析数据结构 堆(讨论小顶堆)的基本操作的一些细节，比如 insert(插入)操作 和 deleteMin(删除堆顶元素)操作的实现细节、分析建堆的时间复杂度、堆的优缺点及二叉堆的不足。
二，堆的实现分析
堆的物理存储结构是一维数组，逻辑存储结构是完全二叉树。堆的基本操作有：insert--向堆中插入一个元素；deleteMin--删除堆顶元素
故堆的类架构如下：
public class BinaryHeap<T extends Comparable<? super T>> {
private T[] array;
private int currentSize;
public BinaryHeap() {
}
public BinaryHeap(T[] array){
}
public void insert(T x){
//do something
}
public T deleteMin(){
}
//other operations....
} ①insert操作
1 public void insert(T x){
2 if(currentSize == array.length - 1)//数组0号位置作为哨兵
3 enlarge(array.length * 2 + 1);0
4
5 int hole = currentSize++;
6 for(array[0] = x; x.compareTo(array[hole / 2]) < 0; hole /= 2)
7 array[hole] = array[hole / 2];//将父节点往下移
8 array[hole] = x;//将待插入的元素放置到合适位置
9 }1）数组0号元素作为哨兵，可以避免交换操作。
因为，在与父节点的比较过程中，若父节点比待插入的节点大(子节点)，则需要交换父节点和待插入节点。而引入哨兵，将待插入节点保存在数组0号元素处，当父节点比待插入的节点大时，直接用父节点替换待插入的节点大(子节点)。
2）复杂度分析
可以看出，最坏情况下，比较进行到根节点时会结束。因此，insert操作时间取决于树的高度。故复杂度为O(logN)。但是在平均情况下，insert操作只需要O(1)时间就能完成，因为毕竟并不是所有的节点都会被调度至根结点，只有在待插入的节点的权值最小时才会向上调整堆顶。
此外，对于二叉树，求解父节点操作： hole = hole / 2， 除以2可以使用右移一位来实现。
因此，可以看出d叉树(完成二叉树 d=2 )，当 d 很大时，树的高度就很小，插入的性能会有一定的提高。为什么说是一定的？？后面会详细分析。
②deleteMin操作
deleteMin操作将堆中最后一个元素替换第一个元素，然后在第一个元素处向下进行堆调整。
1 public AnyType deleteMin( )
2 {
3 if( isEmpty( ) )
4 throw new UnderflowException( );
5
6 AnyType minItem = findMin( );
7 array[ 1 ] = array[ currentSize-- ];//最后一个元素替换堆顶元素
8 percolateDown( 1 );//向下执行堆调整
9
10 return minItem;
11 }
1 /**
2 * Internal method to percolate down in the heap.
3 *@param hole the index at which the percolate begins.
4 */
5 private void percolateDown( int hole )
6 {
7 int child;
8 AnyType tmp = array[ hole ];
9
10 for( ; hole * 2 <= currentSize; hole = child )
11 {
12 child = hole * 2;
13 if( child != currentSize &&
14 array[ child + 1 ].compareTo( array[ child ] ) < 0 )
15 child++;
16 if( array[ child ].compareTo( tmp ) < 0 )
17 array[ hole ] = array[ child ];
18 else
19 break;
20 }
21 array[ hole ] = tmp;
22 }
当从第一个元素(堆顶元素)处向下进行堆调整时，一般该元素会被调整至叶子结点。堆顶元素的高度为树的高度。故时间复杂度为：O(logN)。
③其他一些操作
1）decreaseKey(p,Δ)/increaseKey(p,Δ)---更改位置p处元素的权值
这两个操作一般不常用。它们会破坏堆的性质。因此，当修改了p处元素的权值时，需要进行堆调整(decreseKey为向上调整，increaseKey为向下调整)
2）delete(p)--删除堆中位置为p处的元素
前面介绍的deleteMin操作删除的是堆顶元素，那如何删除堆中的任一 一个元素？
其实，可以将删除堆中任一 一个元素（该元素位置为 p）转换成删除堆顶元素。
借助 1）中的修改位置p处元素的权值操作：decrese(p,Δ)。将p处元素的权值降为负无穷大。此时，该元素会向上调整至堆顶，然后执行deleteMin即可。
三，建堆（buildHeap）
从最后一个非叶子结点开始向前进行向下调整。
1 /**
2 * Establish heap order property from an arbitrary
3 * arrangement of items. Runs in linear time.
4 */
5 private void buildHeap( )
6 {
7 for( int i = currentSize / 2; i > 0; i-- )
8 percolateDown( i );
9 }i 的初始值为最后一个非叶子结点的位置。
时间复杂度分析：
建堆的时间复杂度与堆中所有的结点的高度相同。
分析如下：首先，叶子结点的高度为0。而建堆，就是从最后一个非叶子结点开始，不断调用percolateDown(i)，而percolateDown(i)方法的时间复杂度就是位置 i 处节点的高度。在上面第7行for循环中，当 i 自减为1时，表明已经到了堆顶元素，因此整个buildHeap的时间复杂度就是所有非叶子结点的高度之和。而叶子结点的高度为0，故buildHeap的时间复杂度可理解成 整个二叉堆的所有的结点的高度之和。
而对于理想二叉堆而言:(二叉堆是一颗完全二叉树，理想二叉堆为满二叉树)
所有结点的高度之为：2^(h+1)-1-(h+1)。其中，h表示二叉堆的高度
又可以表示成：N-b(N)，N是堆中结点的个数，b(N)是N的二进制表示法中1的个数，如：b(7)=3
四，d 堆
上面分析了二叉堆的基本操作。那什么是 d 堆呢？为什么要有 d 堆呢？
对于二叉堆，d=2。顾名思义，d堆就是所有节点都有d个儿子的堆。为什么需要这种堆？
分析二叉堆的基本操作，insert操作需要定位父结点，这需要一个除法操作，操作的次数与树的高度有关。deleteMin操作需要找出所有儿子中权值最小的那个儿子，而寻找儿子节点则需要乘法操作，操作的复杂度与儿子的个数有关(d越大，节点的儿子数越多，查找越慢)。
假设，我们的需求是有大量的insert操作，而仅有少量的deleteMin，那d堆从理论上讲就有性能优势了。因为d 远大于2时，树的高度很小啊，但是当d不是2的倍数时，除法操作不能通过移位来实现，也许会有一定的性能损失，这也是为什么insert操作分析中讲的“插入性能会有一定的提高”。
而如果有大量的deleteMin操作，那d堆反而可能会除低性能，因为：d 越大，说明节点的儿子个数越多，找出权值最小的儿子就需要更多的比较次数了。
可见，d堆的提出，是因为需求不同而导致的。比如，insert属于高频需求.....
五，二叉堆的不足
根据上面的分析，二叉堆的insert复杂度O(logN)，deleteMin最坏也是O(logN)。
但是如果需要查找堆中某个元素呢？或者需要合并两个堆呢？
对于二叉堆而言，对find 和 merge操作的支持不够。这是由二叉堆的存储结构决定的，因为二叉堆中的元素实际存储在数组中。正因为如此，所有支持有效合并的高级数据结构都需要使用链式数据结构。
六，其他形式的“堆”
为了克服二叉堆的不足，提出了一面一些类型的堆，它们主要是为了支持merge 和 find 操作。这就不详细介绍了。
①左式堆
对堆的结构有一定的要求：它有一个“零路径长”的概念，①任意一个节点的零路径长比它的各个儿子的零路径长的最小值大1。②对于堆中每一个节点，它的左儿子的零路径长至少与右儿子的零路径长相等。
②斜堆
对堆的结构没有要求。
③二项队列
最大的特点就是，做到了merge操作时间复杂度为O(logN)，而insert操作的平均时间复杂度为O(1)。