卡方分布and卡方检验

一、卡方分布

1. 定义

设 X1..Xn是服从标准正态分布的随机变量，则称统计量

服从自由度为n的卡方分布（标准正态分布随机变量的平方和），记为，其中v称为自由度。

卡方分布期望和方差：    。

2. 外形（取决于自由度）

3. 统计量计算

, 为实际频数，为期望频数。

4. 分布的两个主要用途

分布主要用于检查实际结果与期望结果之间是否存在显著差别。

• 检验拟合优度，检验一组给定的数据与指定分布的吻合程度
• 检验两个变量的关联性

二、卡方检验

1. 利用分布进行假设检验步骤

• 确定H0和H1
• 计算期望频数和自由度
• 通过自由度和显著水平确定拒绝域
• 计算检验统计量
• 查看统计量是否位于拒绝域内

2. 自由度v

自由度值 = 独立的期望频数 - 限制条件数 = （行数-1）* （列数-1）

3. 计算拒绝域

分布进行检验为单侧检验，右侧作为拒绝域，临界值 =  (查表可得)

4. 计算统计量

5. 查看统计量是否位于拒绝域内

若统计量位于临界值内或者p值小于显著性水平，则有充分利用拒绝H0。

三、例题

1. 下表列出某骰子的观察频数，查看这些数据，并以1%的显著性水平进行检验，检验是否有足够正确说明骰子不公正。（拟合优度，检验一组数据与指定分布的吻合程度）

第一步：确定H0 H1

H0：骰子公正，即每面概率为1/6。

H1：骰子不公正

第二步：计算期望频数和自由度

自由度 = 6-1=5

第三步：确定拒绝域

显著性水平 = 0.01 ，自由度 = 5，则 = 15.09，于是拒绝域为>15.09的范围。

第四步：计算检验统计量

 = 88.24

第五步：查看统计量是否位于拒绝域内

由于=88.24>15.09，所以统计量位于拒绝域内。

第六步：做出决策

在显著性水平为1%的情况下，有足够理由拒绝原假设。

2.我们想知道不吃晚饭对体重下降有没有影响，显著性水平=0.05（检验变量之间的相关性）

第一步：确定H0 H1

H0：不吃晚饭对体重下降没有影响，即吃不吃晚饭的体重下降率相等；

H1：不吃晚饭对体重下降有显著影响，即吃不吃晚饭的体重下降率不相等

第二步：计算期望频数和自由度

自由度 = (2-1)(2-1) = 1

第三步：计算拒绝域

显著性水平=0.05 ，自由度 = 1，则 = 3.84

第四步：计算检验统计量

 = 5.498

第五步：查看统计量是否位于拒绝域内

由于 = 5.498>3.84，统计量位于拒绝域内，有理由拒绝H0，认为不吃晚饭对体重下降有显著影响。

2020-05-16 15：41