分块之区间修改与单点查询

软件设计

2017-05-19

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给出一个长为n的数列，以及n个操作，操作涉及区间加法，单点查值。

这是一道能用许多数据结构优化的经典题，可以用于不同数据结构训练。

数列分块就是把数列中每m个元素打包起来，达到优化算法的目的。

以此题为例，如果我们把每m个元素分为一块，共有n/m块，每次区间加的操作会涉及O(n/m)个整块，以及区间两侧两个不完整的块中至多2m个元素。

我们给每个块设置一个加法标记（就是记录这个块中元素一起加了多少），每次操作对每个整块直接O(1)标记，而不完整的块由于元素比较少，暴力修改元素的值。

每次询问时返回元素的值加上其所在块的加法标记。

这样每次操作的复杂度是O(n/m)+O(m)，根据均值不等式，当m取√n时总复杂度最低，为了方便，我们都默认下文的分块大小为√n。

区间加法

1 void interval_add(int ll,int rr,int v)
 2 {
 3     for(int i=ll;i<=min(where[ll]*m,rr);i++)
 4     //这里判断的是where[ll]是不完全块的情况，也就是ll在他实际块最左端的右侧，
 5     // 然后便利ll-所在块的结尾/rr，暴力增加 
 6         a[i]+=v; 
 7     if(where[ll]!=where[rr])
 8     // 注意如果是ll和rr在一个块中的话，上面已经加过一边，所以不用加 
 9     {
10         for(int i=(where[rr]-1)*m;i<=rr;i++)
11         // 这里判断的是rr在他实际所在块的最右端左侧的情况
12         // where[i]*m表示的是第i个块最右端的元素
13         // where[rr]-1就是rr所在块左边那个块最右端的元素
14         // 一直到rr暴力增加 
15             a[i]+=v;    
16     }    
17     for(int i=where[ll]+1;i<=where[rr]-1;i++)
18     //这里where[ll]和where[rr]均已暴力处理过，所以只枚举中间的块就可以 
19         add[i]+=v;
20 }

单点查询

1 printf("%d\n",a[v]+add[where[v]]);

完整代码

1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 using namespace std;
 6 const int MAXN=100001;
 7 int n,q,m,how,l,r,v;
 8 int a[MAXN];// 初始值
 9 int add[MAXN];// 后来每个块上加入的值
10 int where[MAXN];// 记录每一个值对应第几块
11 void interval_add(int ll,int rr,int v)
12 {
13     for(int i=ll;i<=min(where[ll]*m,rr);i++)
14     //这里判断的是where[ll]是不完全块的情况，也就是ll在他实际块最左端的右侧，
15     // 然后便利ll-所在块的结尾/rr，暴力增加 
16         a[i]+=v; 
17     if(where[ll]!=where[rr])
18     // 注意如果是ll和rr在一个块中的话，上面已经加过一边，所以不用加 
19     {
20         for(int i=(where[rr]-1)*m;i<=rr;i++)
21         // 这里判断的是rr在他实际所在块的最右端左侧的情况
22         // where[i]*m表示的是第i个块最右端的元素
23         // where[rr]-1就是rr所在块左边那个块最右端的元素
24         // 一直到rr暴力增加 
25             a[i]+=v;    
26     }    
27     for(int i=where[ll]+1;i<=where[rr]-1;i++)
28     //这里where[ll]和where[rr]均已暴力处理过，所以只枚举中间的块就可以 
29         add[i]+=v;
30 } 
31 int main()
32 {
33     scanf("%d",&n);
34     m=sqrt(n);
35     for(int i=1;i<=n;i++)
36         scanf("%d",&a[i]);
37     for(int i=1;i<=n;i++)
38         where[i]=(i-1)/m+1;// 这里的i可以-1(hzwer写的是-1)也可以不写，不写的话第一块的元素个数会是m-1 
39     scanf("%d",&q);
40     for(int i=1;i<=q;i++)
41     {
42         scanf("%d",&how);
43         if(how==1)// 区间加
44         {
45             scanf("%d%d%d",&l,&r,&v);
46             interval_add(l,r,v);
47         }
48         else// 单点查询 
49         {
50             scanf("%d",&v);
51             printf("%d\n",a[v]+add[where[v]]);
52             // where保存的是这个点所属的块，add表示这个块已经增加的元素
53             //a[v]是这个点开始的值，一加就是答案 
54         } 
55     }
56     return 0;
57 }