机器学习基础：朴素贝叶斯小结

CONTENTS

1. 全概率公式与贝叶斯公式

2. 朴素贝叶斯的模型

假设分类模型样本是：

共有m个样本， n个特征， K个类别， 定义为\(C_1, C_2, ... , C_K\)。

从样本中可以得到先验分布\(P(Y=C_k)(k=1,2,...,K)\)， 也可以根据特定的先验知识定义先验分布。

接着需要得到条件概率分布\(P(X=x|Y=C_k)=P(X_1=x_1,X_2=x_2,...X_n=x_n|Y=C_k)\)， 然后求得联合分布：

\(P(Y=C_k)\) 可以用最大似然法求出， 得到的\(P(Y=C_k)\)就是类别\(C_k\)在训练集中出现的频数。但是条件概率分布\(P(X=x|Y=C_k)=P(X_1=x_1,X_2=x_2,...X_n=x_n|Y=C_k)\)，很难求出，朴素贝叶斯模型在这里做了一个大胆的假设，即X的n个维度之间相互独立，这样就可以得出：

我们只要计算出所有的K个条件概率\(P(Y=C_k|X=X^{(test)})\),然后找出最大的条件概率对应的类别，这就是朴素贝叶斯的预测。

3. 朴素贝叶斯的推断过程

假设预测的类别\(C_result\)是使\(P(Y=C_k|X=X^{(test)})\)最大化的类别，数学表达式为:

接着利用朴素贝叶斯的独立性假设，就可以得到朴素贝叶斯推断公式:

4. 朴素贝叶斯的参数估计

4.1 对于离散值特征

假设服从多项式分布，这样得到\(P(X_j=X^{(test)}_j|Y=C_k)\)是在样本类别\(C_k\)中，特征\(X^{(test)}_j\)出现的频率。即:

某些时候，可能某些类别在样本中没有出现，这样可能导致\(P(X_j=X^{(test)}_j|Y=C_k)\)为0，这样会影响后验的估计，为了解决这种情况，引入了拉普拉斯平滑，即此时有：

4.2 对于非常稀疏的离散值

假设服从伯努利分布， 即特征\(X_j\)出现记为1，不出现记为0。即只要\(X_j\)出现即可，不关注\(X_j\)的次数。此时有：

4.3 对于连续值特征

通常假设\(X_j\)的先验概率为正态分布， 有：

5. 朴素贝叶斯算法优缺点

优点：

• 对小规模的数据表现很好，能个处理多分类任务，适合增量式训练，尤其是数据量超出内存时，可以一批批的去增量训练；
• 对缺失数据不太敏感，算法也比较简单，有稳定的分类效率，常用于文本分类；

缺点：

• 独立性假设在很多情况下并不成立， 在属性个数比较多或者属性之间相关性较大时，分类效果不好。而在属性相关性较小时，朴素贝叶斯性能最为良好。
• 需要知道先验概率，且先验概率很多时候取决于假设，假设的模型可以有很多种，因此在某些时候会由于假设的先验模型的原因导致预测效果不佳。
• 由于我们是通过先验和数据来决定后验的概率从而决定分类，所以分类决策存在一定的错误率。
• 对输入数据的表达形式很敏感。

6. 代码实践

import math
class NaiveBayes:
    def __init__(self):
        self.model = None

    # 数学期望
    @staticmethod
    def mean(X):
        """计算均值
        Param: X : list or np.ndarray
        
        Return:
            avg : float
        
        """
        avg = 0.0
        # ========= show me your code ==================
        avg = sum(X) / float(len(X))
        # ========= show me your code ==================
        return avg

    # 标准差（方差）
    def stdev(self, X):
        """计算标准差
        Param: X : list or np.ndarray
        
        Return:
            res : float
        
        """
        res = 0.0
        # ========= show me your code ==================
        avg = self.mean(X)
        res = math.sqrt(sum([pow(x - avg, 2) for x in X]) / float(len(X)))
        # ========= show me your code ==================
        return res
        
    # 概率密度函数
    def gaussian_probability(self, x, mean, stdev):
        """根据均值和标注差计算x符号该高斯分布的概率
        Parameters:
        ----------
        x : 输入
        mean : 均值
        stdev : 标准差
        
        Return:
        
        res : float， x符合的概率值
            
        """
        res = 0.0
        # ========= show me your code ==================
        exponent = math.exp(-(math.pow(x - mean, 2) /
                              (2 * math.pow(stdev, 2))))
        res = (1 / (math.sqrt(2 * math.pi) * stdev)) * exponent
        # ========= show me your code ==================
        
        return res
        
    # 处理X_train
    def summarize(self, train_data):
        """计算每个类目下对应数据的均值和标准差
        Param: train_data : list
        
        Return : [mean, stdev]
        """
        summaries = [0.0, 0.0]
        # ========= show me your code ==================
        summaries = [(self.mean(i), self.stdev(i)) for i in zip(*train_data)]
        
        # ========= show me your code ==================
        return summaries

    # 分类别求出数学期望和标准差
    def fit(self, X, y):
        labels = list(set(y))
        data = {label: [] for label in labels}
        for f, label in zip(X, y):
            data[label].append(f)
        self.model = {
            label: self.summarize(value) for label, value in data.items()
        }
        return ‘gaussianNB train done!‘

    # 计算概率
    def calculate_probabilities(self, input_data):
        """计算数据在各个高斯分布下的概率
        Paramter:
        input_data : 输入数据
        
        Return:
        probabilities : {label : p}
        """
        # summaries:{0.0: [(5.0, 0.37),(3.42, 0.40)], 1.0: [(5.8, 0.449),(2.7, 0.27)]}
        # input_data:[1.1, 2.2]
        probabilities = {}
        # ========= show me your code ==================
        for label, value in self.model.items():
            probabilities[label] = 1
            for i in range(len(value)):
                mean, stdev = value[i]
                probabilities[label] *= self.gaussian_probability(
                    input_data[i], mean, stdev)
        # ========= show me your code ==================
        return probabilities

    # 类别
    def predict(self, X_test):
        # {0.0: 2.9680340789325763e-27, 1.0: 3.5749783019849535e-26}
        label = sorted(self.calculate_probabilities(X_test).items(), key=lambda x: x[-1])[-1][0]
        return label
    # 计算得分
    def score(self, X_test, y_test):
        right = 0
        for X, y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            if label == y:
                right += 1

        return right / float(len(X_test))

from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
from sklearn.datasets import load_iris
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
iris = load_iris()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(iris.data, iris.target, test_size=0.2)
clf = GaussianNB().fit(X_train, y_train)
print ("Classifier Score:", clf.score(X_test, y_test))

model = NaiveBayes()
model.fit(X_train, y_train)
print(model.predict([4.4,  3.2,  1.3,  0.2]))
model.score(X_test, y_test)