数据结构和算法之——跳表
之前我们知道，二分查找依赖数组的随机访问，所以只能用数组来实现。如果数据存储在链表中，就真的没法用二分查找了吗？而实际上，我们只需要对链表稍加改造，就可以实现类似“二分”的查找算法，这种改造之后的数据结构叫作跳表（Skip List）。
1. 何为跳表？
对于一个单链表，即使链表是有序的，如果我们想要在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表，这样效率自然就会很低。
假如我们对链表每两个结点提取一个结点到上一级，然后建立一个索引指向原始结点，如下图所示。
这时候，我们要查找某一个数据的时候，就可以先在索引里面查找出一个大的范围，然后再下降到原始链表中精确查找。
比如，我们要查找 16，我们发现 16 位于 13 和 17 之间，这时候，我们就从 13 的地方下降到原始链表，然后再往后查询。原来我们查找 16，需要遍历 10 个结点，现在只需要遍历 7 个结点。
我们发现，加一层索引后，查找一个结点需要遍历的次数减少了，也就是查找效率提高了。
那么我们再多加一级索引呢？效果会不会有更大提升？
这一次，我们只需要遍历 6 个结点了。
数据量不大的时候这种方法可能效率提高得还不是很明显，下面看一个包含 64 个结点的例子，这次我们建立了五级索引。
查找 62 的时候原来需要遍历 62 次，现在只需要 11 次即可。针对链表长度比较大的时候，构建索引查找效率的提升就会非常明显。
2. 跳表查询的分析？
如果链表中总共有 $n$ 个结点，那么第一级索引就有 $\frac{n}{2}$ 个结点，第二级索引就有 $\frac{n}{4}$ 个结点，以此类推，那么第 $k$ 级索引就有 $\frac{n}{2^k}$ 个结点。如果最高级索引有 2 个结点，那总的索引级数 $k = log_2n - 1$，如果我们算上原始链表的话，那也就是总共有 $log_2n$ 级。
在第 $k$ 级索引中，假设我们要查找的数据为 $x$，当我们查找到 $y$ 结点时，发现 $y < x < z$ 时此时我们就要下降到 $k-1$ 级索引继续查找。在第 $k-1$ 级索引中，$y$ 和 $z$ 之间只有三个结点，因此，我们最多只需要查找 3 个结点。以此类推，每一级的索引最多都只需要遍历 3 个结点。
而总的级别数为 $log_2n$，因此查找的时间复杂度就为 $3* log_2n = logn$。跳表查找的时间复杂度和二分查找一样，但这其实是以空间来换时间的设计思路。
跳表的所有额外索引结点总数为 $\frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \frac{n}{8} + ... + 4 + 2 = n-2$，所以跳表的空间复杂度为 $O(n)$。
但如果我们每三个结点建立一个索引，这时候额外需要的结点总数为 $\frac{n}{2}$，虽然空间复杂度依然为 $O(n)$，但减少了一半的索引节点存储空间。
实际上，在实际开发中，原始链表中存储的可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，其额外占用的空间可以被忽略掉。
3. 跳表高效的动态插入和删除？
在链表中，如果我们知道要插入数据的位置，那么插入的时间复杂度就为 $O(1)$。在跳表中，查找的时间复杂度为 $O(logn)$，因此，动态插入数据的时间复杂度也就是 $O(logn)$ 了。
从链表中删除结点的时候，如果结点在索引中也有出现，那么我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。
当我们不停地往跳表中插入数据的时候，如果我们不更新索引，就有可能出现某两个结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化为单链表。
因此，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表结点变多了，索引值就相应地增加一些。
当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以选择同时也将这个数据插入到部分索引层中。而插入到哪些索引层中，则由一个随机函数生成一个随机数字来决定。如果这个数字为 K，那我们就将数据插入到第一级到第 K 级索引中。
4. 为什么 Redis 要用跳表来实现有序集合而不是红黑树？
Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有以下几个：
- 插入一个数据
- 删除一个数据
- 查找一个数据
- 按照区间查找数据
- 迭代输出有序序列
其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，红黑树也可以完成，时间复杂度和跳表是一样的。
但是，按照区间查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高。跳表可以在 $O(logn)$ 时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序向后查询就可以了，这样非常高效。
此外，相比于红黑树，跳表还具有代码更容易实现、可读性好、不容易出错、更加灵活等优点，因此 Redis 用跳表来实现有序集合。
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