排序算法总结
内部排序
以下为基于比较的排序。
一、插入排序
直接插入排序
- 基本思想：
将元素插入到已经排好序的序列中。第一个元素已经是有序序列，然后比较外围的元素和序列的最后一个元素，判断是否需要插入，如果小，则插入。
- 时间复杂度：最优 O(n) 最差 O(n^2)
- 是否稳定：是
public void insertSort(int[] arr) {
int n = arr.length;
for (int i = 1; i < n; i++)
for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
if (arr[j + 1] < arr[j])
swap(arr, j + 1, j);
}改进后的插入排序
比如，用二分查找优化插入排序，因为是要插入到已经排好序的序列当中，所以在查找插入位置这个地方可以用二分查找来优化。
public int binarySearch(int[] arr, int low, int high, int key) {
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (key < arr[mid])
high = mid - 1;
else
low = mid + 1;
}
return low;
}
public void insertSort(int[] arr) {
int n = arr.length;
for (int i = 1; i < n; i++)
// determine whether to insert
if (arr[i] < arr[i - 1]) {
// record the element to insert
int key = arr[i];
// find insert index
int indexInsert = binarySearch(arr, 0, i - 1, arr[i]);
// move elements
for (int j = i - 1; j >= indexInsert; j--)
arr[j + 1] = arr[j];
// insert the key
arr[indexInsert] = key;
}
}二、选择排序
1. 简单选择排序
- 基本思想：
选出后面最小的元素和前面的交换
- 时间复杂度： 最优 O(n^2) 最差 O(n^2)
- 是否稳定：否
public void selectSort(int[] arr) {
int n = arr.length;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int minIndex = i;
// find the min index
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
if (arr[j] < arr[minIndex])
minIndex = j;
}
if (minIndex != i)
swap(arr, i, minIndex);
}
}改进后的选择排序
之前的选择排序是一趟只找到最小的，如果一趟可以把最大最小都找出来，就可以将循环的次数减半。
不过在交换时需要注意一种情况，就是第一个元素就已经是最大元素的情况，因为前面已经交换过 i 和 min，所以再交换时就是交换的 n - i - 1 和 min，而不是 max。
public void selectSort(int[] arr) {
int n = arr.length;
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
int min = i;
int max = i;
for (int j = i + 1; j < n - i; j++) {
// find the min element
if (arr[j] < arr[min]) {
min = j;
continue;
}
// find the max element
if (arr[j] > arr[max])
max = j;
}
swap(arr, i, min);
if (max != i)
swap(arr, n - i - 1, max);
else // the first element is the max element
swap(arr, n - i - 1, min);
}
}2. 堆排序
- 基本思想：
堆排序也是一种直接选择排序，因为它也是将排好序的大根堆 or 小根堆的顶部元素逐个和尾部元素交换，也是一种选择。
- 时间复杂度： 最优 O(nlgn) 最差 O(nlgn) 是一个很优秀的排序算法
- 是否稳定：否
public void adjustHeap(int[] arr, int i, int len) {
int parent = arr[i];
// start from left child
for (int k = 2 * i + 1; k < len; k = 2 * k + 1) {
// find max child (left or right)
if (k + 1 < len && arr[k + 1] > arr[k])
k++;
// compare the parent and its child, but don't swap
if (arr[k] > arr[i]) {
arr[i] = arr[k];
i = k;
} else
break;
}
// insert the original parent on index i
arr[i] = parent;
}
public void heapSort(int[] arr) {
int len = arr.length;
// adjust heap from the last none-leaf node
// from bottom to up; from right to left
for (int i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)
adjustHeap(arr, i, len);
// swap the top element and the last element
for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
swap(arr, i, 0);
adjustHeap(arr, 0, i);
}
}三、归并排序
- 基本思想：分治。将两个有序序列合并成一个有序序列，递归进行。需要辅助数组。
- 时间复杂度： 最优 O(nlgn) 最差 O(nlgn)
- 空间复杂度
O(n)
- 是否稳定：是
/* create an array in advance to avoid creating arrays frequently */
private void sort(int[] arr) {
int n = arr.length;
int[] temp_arr = new int[n];
mergeSort(arr, 0, n - 1, temp_arr);
}
public void mergeSort(int[] arr, int left, int right, int[] temp_arr) {
if (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
mergeSort(arr, left, mid, temp_arr);
mergeSort(arr, mid + 1, right, temp_arr);
merge(arr, left, mid, right, temp_arr);
}
}
public void merge(int[] arr, int left, int mid, int right, int[] temp_arr) {
int i = left;
int j = mid + 1;
int t = 0;
while (i <= mid && j <= right) {
if (arr[i] < arr[j]) {
temp_arr[t++] = arr[i];
i++;
} else {
temp_arr[t++] = arr[j];
j++;
}
}
// insert the remaining elements
while (i <= mid)
temp_arr[t++] = arr[i++];
while (j <= right)
temp_arr[t++] = arr[j++];
t = 0;
// copy elements into array
while (left <= right)
arr[left++] = temp_arr[t++];
}四、交换排序
1. 冒泡排序
- 基本思想：
总共有 n 个元素，就比较 n - 1 趟，每一趟比较都会将相邻元素进行比较，然后将较大的元素向后放，就像大数沉底，小数像上冒一样。冒泡排序的交换次数等于原始序列的逆序数。
- 时间复杂度： 最优 O(n) 最差也是平均 O(n^2)
- 是否稳定：是
public void bubbleSort(int[] arr) {
int n = arr.length;
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {
if (arr[j] > arr[j + 1])
swap(arr, j, j + 1);
}
}
}改进后的冒泡排序一
交换过后，会有部分元素是已经排好序了，这一部分再进行比较是没有意义的，可以从这个地方入手改进冒泡排序。
用一个标志位记录最后一次进行交换的位置，这个位置后面的元素是没有进行交换的，说明是已经排好序的，所以不需要再比较。
public void bubbleSort(int[] arr) {
int n = arr.length;
int i = n - 1;
int pos = 0;
while (i > 0) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
pos = 0;
if (arr[j] > arr[j + 1]) {
swap(arr, j, j + 1);
pos = j;
}
}
i = pos;
}
}改进后的冒泡排序二
双向冒泡（正反两个方向同时排序），使排序次数几乎减少一半
public void bubbleSort(int[] arr) {
int n = arr.length;
int left = 0;
int right = n - 1;
while (left < right) {
for (int i = left; i < right; i++) {
if (arr[i] > arr[i + 1])
swap(arr, i, i + 1);
}
right--;
for (int i = right; i > left; i--) {
if (arr[i] < arr[i - 1])
swap(arr, i, i - 1);
}
left++;
}
}2. 快速排序
- 基本思想：
根据选择的基准元素进行划分，然后两边都进行排序，再递归进行。需要注意的是，遍历需要从选择的基准元素的反方向开始。
- 时间复杂度： 最优也是平均 O(nlgn) 最差 O(n^2) 即每次选的基准元素都是最大（小）值
- 是否稳定：否
public void quickSort(int[] arr, int low, int high) {
if (low < high) {
int pivotLoc = partition(arr, low, high);
quickSort(arr, low, pivotLoc - 1);
quickSort(arr, pivotLoc + 1, high);
}
}
public int partition(int[] arr, int low, int high) {
int pivot = arr[low];
while (low < high) {
while (low < high && arr[high] >= pivot)
high--;
swap(arr, low, high);
while (low < high && arr[low] <= pivot)
low++;
swap(arr, low, high);
}
return low;
}外部排序
非基于比较的排序，时间复杂度可以达到 O(n)，其实是用空间换时间。
下面列举的都是线性时间排序法
1. 计数排序（Counting Sort）
- 基本思想：
利用数组下标来排序。但只适合有限数值的数字，序列的数字最大值 k 如果太大，那么开的辅助数组 C[] 就会很大，占用太多空间。
这种思路经常被用到。
- 时间复杂度： 最优也是平均 O(n + k) 最差 O(n^2) 即每次选的基准元素都是最大（小）值
- 是否稳定：是
public int[] countingSort(int[] A, int k) {
int n = A.length;
int[] C = new int[k + 1];
// counting the number of times each element appears in A
for (int i = 0; i < n; i++) {
C[A[i]]++;
}
// counting elements less than or equal to C[i]
for (int i = 1; i <= k; i++) {
C[i] = C[i] + C[i - 1];
}
// insert into result array
int[] B = new int[n];
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
B[C[A[i]] - 1] = A[i];
C[A[i]]--;
}
return B;
}2. 桶排序（Bucket Sort）
- 基本思想：
把数组中数据放到有限个桶中，在每个桶中分别进行排序（可以采用任意排序方法）。
模拟画图 ≡ω≡
input:[12,22,2,13,23,3]
| | | | | |
| 2,3 | |12,13| |22,23|
|_____| |_____| |_____|
bucket1 bucket2 bucket3
(1-10) (11-20) (21-30)
output:[2,3,12,13,22,23]- 时间复杂度： 最优近似 O(n) 最差 O(n^2) 即每次选的基准元素都是最大（小）值
- 是否稳定：是
public void bucketSort(int[] arr){
int n = arr.length;
int max = arr[0];
int min = arr[0];
for (int num : arr) {
if (num < min)
min = num;
if (num > max)
max = num;
}
// create bucket
int bucketNum = max / 10 - min / 10 + 1;
List bucketList = new ArrayList<List<Integer>>();
for (int i = 1; i <= bucketNum; i++) {
bucketList.add(new ArrayList<Integer>());
}
// insert into bucket
for (int i = 0; i < n; i++) {
int index = (arr[i] - min) / 10;
((ArrayList<Integer>)bucketList.get(index)).add(arr[i]);
}
ArrayList<Integer> bucket = null;
int index = 0;
for (int i = 0; i < bucketNum; i++) {
bucket = (ArrayList<Integer>)bucketList.get(i);
bucketInsertSort(bucket);
for (int num : bucket) {
arr[index++] = num;
}
}
}
public void bucketInsertSort(List<Integer> bucket) {
for (int i = 0; i < bucket.size(); i++) {
int temp = bucket.get(i);
int j = i - 1;
for (; j >= 0 && bucket.get(j) > temp; j--) {
bucket.set(j + 1, bucket.get(j));
}
bucket.set(j + 1, temp);
}
}3. 基数排序（Radix Sort）
- 基本思想：
前面的计数和桶排序都是只能排一个关键字，而基数排序可以排多个关键字。
基数排序分为两种：假设有二元组 (a, b)，以 a 为首要关键字，b 为次要关键字排序
- MSD(Most Siginificant Digit) 先排 a，后排 b
- LSD(Least Siginificant Digit) 先排 b，后排 a
基数排序需要使用稳定的排序算法，一般用计数或者桶排序。
e.g. 采用 LSD
input: [170, 45, 75, 90, 802, 24, 2, 66]
1. 从最后一个关键字开始排：
170, 45, 75, 90, 802, 24, 2, 66
0 5 5 0 2 4 2 6
排序后（注意保持原来的相对顺序，802 仍然在 2 前面）：
170, 90, 802, 2, 24, 45, 75, 66
2. 从次要关键字开始排
170, 90, 802, 2, 24, 45, 75, 66
7 9 0 2 4 7 6
排序后（170 仍然在 75 前面）：
802, 2, 24, 45, 66, 170, 75, 90
3. 从首要关键字开始排：
802, 2, 24, 45, 66, 170, 75, 90
8 1
排序后：
2, 24, 45, 66, 75, 90, 170, 802
output: [2, 24, 45, 66, 75, 90, 170, 802]- 时间复杂度：
平均 O(d * (r + n))
d:digit 数字位数 r:radix 基数 n:number 关键字个数
- 空间复杂度：
O(r + n)
- 是否稳定：是
public void radixSort(int[] arr, int n) {
// find max element
int max = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (arr[i] > max)
max = arr[i];
}
for (int k = 1; max / k > 0; k *= 10) {
countingSort(arr, n, k);
}
}
public void countingSort(int[] arr, int n, int k) {
// max number is 9
int C[] = new int[10];
// counting occurrences
for (int i = 0; i < n; i++) {
C[(arr[i] / k) % 10]++;
}
// counting elements less than or equal to C[i]
for (int i = 1; i < 10; i++) {
C[i] = C[i] + C[i - 1];
}
// insert into result array
int[] B = new int[n];
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
B[C[(arr[i] / k) % 10] - 1] = arr[i];
C[(arr[i] / k) % 10]--;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
arr[i] = B[i];
}
}总结
关于稳定性：
- 稳定的排序算法：冒泡、插入、归并、计数、桶和基数排序
- 不稳定的排序算法: 选择、快速、希尔和堆排序
排序算法的选择：
- 如果数据有序或基本有序，冒泡和插入的时间复杂度可以降到 O(n)，而快排则相反。
- 如果数据很大，需要考虑使用 O(nlgn) 的排序方法，如快排、归并排序、堆排。
- 如果对空间限制不大，可以使用基数排序等方法降低时间复杂度，这些线性时间排序法是利用了数据的特性达到最佳的效果。
参考资料：
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