决策树的数学原理
说到决策树，大家肯定不陌生，由于其结构简单，学习成本低，且可解释性强，有着广泛的应用。
因此各类书籍、技术博客都有介绍，且深入浅出、图文并茂、生动形象。
鉴于已经有很多带图的博客介绍决策树，这里就不上图了，主要以公式推导为主。
本文主要分三块内容来介绍决策树：
- 首先会简单回顾下决策树的内容，由于这部分相对简单，大家了解的也多，因此会快速过一遍。
- 随后本文会对决策树的数学原理做详尽的剖析和推导，这也是本文的重点，做到知其然更知其所以然。
- 最后是决策树在工业应用中常见的一些形态，这部分内容在本文不做详细展开，留在后续文章中详述。
决策树的构建
通俗来讲，决策树的构建过程就是将数据根据其特征分布划分到不同的区域，使得同一个区域的样本有尽可能一致的类别标签。在决策树构建的过程中，我们需要一个衡量标准来确定每次数据划分所带来的收益，这个标准就是信息熵，以0-1二分类问题为例，衡量一个节点的信息熵公式如下：
其中p为当前节点中正样本的比例，Entropy越大，说明节点的样本越杂，因此Entropy越小越好。假设我们每次对数据划分都是将数据一分为二，分别为left和right， 分裂的收益就是分裂前节点的Entropy减去这两个节点的Entropy的加权和。即：Entropy(parent) - Prob(left) * Entropy(left) + Prob(right) * Entropy(right)，这个值越大越好。这个收益，学术上我们称作“信息增益”。其中Prob(left)为左节点的样比例，Prob(right)为右节点的样本比例。
由于单纯使用信息增益作为标准来构建决策树，容易导致过拟合的问题。因此前辈们又引入了“信息增益率”，以及对树进行剪枝等方式来优化树的创建过程。这里我们只是提一下，不做更深的探讨，感兴趣的同学可以百度，Google相关内容学习。
信息熵的概率解释
上节提到的决策树构建过程，除了一个简单的信息熵公式之外，没有任何数学的元素。稍微有点编程经验的同学都可以快速编写一个决策树模型。因此我们说决策树模型简单，学习成本低。
但有些同学可能会追问，衡量数据划分收益的标准为什么是信息增益(熵的降低)而不是别的东西。或者说为什么它是靠谱的？本节，我们就来回答这个问题。过程中，我们会用到一些概率统计和微积分的基础知识。
我们还是以二分类问题为例，即样本中只有两类样本：正例(标记为“1”)，负例(标记为“0”)。为了对二分类问题建模，我们需要一个假设，即假设第i个样本的模型结果pi的靠谱程度由如下公式衡量：
其中yi表示第i个样本的类标签，
，通俗来讲就是假设样本类别判断正确的概率服从给定参数
的二项分布，也叫伯努利分布，每个样本都服从相同的分布，且相互之间独立。这样，我们可以写出整个数据集的似然函数，也就是该二分类问题的目标函数：
模型优化的目的，或者说构建一棵决策树的目的，就是使得该公式的值尽可能的大。那这个跟我们要讨论的信息增益(熵的降低)有什么关系？
不急，我们先对目标函数两边分别取对数并取反得到：
求原函数的最大值等价于求该函数的最小值。
由于该函数对参数 
的二阶导大于0恒成立，如下：
因此，这是一个有且仅有一个最小值的凸函数，为求极值对应的函数参数，只需求其一阶导等于0即可，即求 pi 使得：
根据决策树模型，整个数据集会被划分到不同的区域（叶子节点），而且被划分到同一个区域的样本的预测值相同，则我们只需对每个叶子节点求解：
即可。其中pk为第k个节点的预测值，即该节点所有样本的预测值。
公式展开如下：
化解得到：
求解得到：
其中m为该节点样本总数，分子部分为该节点正样本数，则pk即为该节点正样本的比例。将pk带入公式得到:
进一步为了消除节点样本个数对该值的影响，使用节点样本数对该结果做归一化，得到：
没错，你没有看错！这就是我们开头抛出的信息熵公式。可见信息熵并不是什么凭空降临的上帝准则，而是从二项分布中，一步步推出来的。不知道香浓在提出信息熵的时候，是不是用了二项分布。如果是，那就是新瓶装旧酒，没什么新意；如果真是灵机一动的神来之笔，那就是英雄所见略同，虽然这两个英雄隔了好几个世纪。
几个概念
在工作中，我们常常听到诸如模型、目标、参数等概念。那什么是模型、什么是目标函数、什么是参数，它们之间有什么关系？
- 关于模型
我们讨论的决策树，是通过将数据划分到不同的互不重合区域(对应于树的生长过程)，使得每个区域的样本有尽可能一直的类标签(对应于目标函数的最大化)的模型。只是一种建模方法，而与要优化的目标没有必然关系。
- 关于目标函数
而上文中我们为了解释信息熵的原理而引入的二项分布，以及基于此构造的损失函数Loss，则是我们的目标函数。我们的目标是最大化该函数的值。
- 关于模型参数
有了目标函数，才有模型的参数。模型参数是在模型结构的约束下，依据给定的训练数据，使得目标函数取的最大值时的函数参数。
- 三者关系
一个模型可以有很多个目标，一个目标可以通过不同的模型去优化。即模型结构与目标函数是独立的，互补依赖，互补干涉。
而参数则共同依赖于模型结构和目标函数，有什么样的目标函数，就有什么样的参数形式；而模型的结构则决定了最终的参数结果。
决策树的应用
读到此处相信你一定对决策树有了新的理解，不幸的是如果我们单纯地按照本文所讲的内容去建一棵决策树，你会发现模型极易出现过拟合，没什么用处。因此工业上在使用决策树模型来建模数据时，往往要加上一些限制和约束。比如说限制树的深度、限制树叶子节点的个数、为模型参数加上L2或者L1的显式正则，更或者我们使用多棵而不是仅仅使用单棵树来建模数据。
使用多棵树来建模时，树的组合方式又有不同的选择，比如：boosting，bagging。使用Boosting来组合决策树的模型我们称之为GBDT(gradient boosting decision tree)；而使用bagging方式来组合决策树的模型我们则称之为random Forest(随机森林)。这也是工业界最常使用的两种树模型,我们统称为TreebasedModel......
欲知后事如何，且听下回分解。