数据结构与算法简记--拓扑排序

alicelmx

2020-01-05

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拓扑排序

问题

一个完整的项目往往会包含很多代码源文件。编译器在编译整个项目的时候，需要按照依赖关系，依次编译每个源文件。比如，A.cpp 依赖 B.cpp，那在编译的时候，编译器需要先编译 B.cpp，才能编译 A.cpp。

解析

解决思路与“图”这种数据结构的一个经典算法“拓扑排序算法”有关

拓扑排序

凡是需要通过局部顺序来推导全局顺序的，一般都能用拓扑排序来解决。

具体实现

把源文件与源文件之间的依赖关系，抽象成一个有向图。

每个源文件对应图中的一个顶点，源文件之间的依赖关系就是顶点之间的边。

如果 a 先于 b 执行，也就是说 b 依赖于 a，那么就在顶点 a 和顶点 b 之间，构建一条从 a 指向 b 的边。

而且，这个图不仅要是有向图，还要是一个有向无环图，也就是不能存在像 a->b->c->a 这样的循环依赖关系。

因为图中一旦出现环，拓扑排序就无法工作了。

数据结构

实际上，拓扑排序本身就是基于有向无环图的一个算法。

public class Graph {
  private int v; // 顶点的个数
  private LinkedList<Integer> adj[]; // 邻接表

  public Graph(int v) {
    this.v = v;
    adj = new LinkedList[v];
    for (int i=0; i<v; ++i) {
      adj[i] = new LinkedList<>();
    }
  }

  public void addEdge(int s, int t) { // s先于t，边s->t
    adj[s].add(t);
  }
}

算法实现

Kahn 算法
- 贪心算法思想
- 定义数据结构的时候，如果 s 需要先于 t 执行，那就添加一条 s 指向 t 的边。所以，如果某个顶点入度为 0，也就表示，没有任何顶点必须先于这个顶点执行，那么这个顶点就可以执行了。
  - 先从图中，找出一个入度为 0 的顶点，将其输出到拓扑排序的结果序列中（对应代码中就是把它打印出来），
  - 并且把这个顶点从图中删除（也就是把这个顶点可达的顶点的入度都减 1）。
  - 循环执行上面的过程，直到所有的顶点都被输出。
  - 最后输出的序列，就是满足局部依赖关系的拓扑排序。
  - ```
  public void topoSortByKahn() {
    int[] inDegree = new int[v]; // 统计每个顶点的入度
    for (int i = 0; i < v; ++i) {
      for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
        int w = adj[i].get(j); // i->w
        inDegree[w]++;
      }
    }
    LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
    for (int i = 0; i < v; ++i) {
      if (inDegree[i] == 0) queue.add(i);
    }
    while (!queue.isEmpty()) {
      int i = queue.remove();
      System.out.print("->" + i);
      for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
        int k = adj[i].get(j);
        inDegree[k]--;
        if (inDegree[k] == 0) queue.add(k);
      }
    }
  }
```

DFS 深度优先搜索算法

public void topoSortByDFS() {
  // 先构建逆邻接表，边s->t表示，s依赖于t，t先于s
  LinkedList<Integer> inverseAdj[] = new LinkedList[v];
  for (int i = 0; i < v; ++i) { // 申请空间
    inverseAdj[i] = new LinkedList<>();
  }
  for (int i = 0; i < v; ++i) { // 通过邻接表生成逆邻接表
    for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
      int w = adj[i].get(j); // i->w
      inverseAdj[w].add(i); // w->i
    }
  }
  boolean[] visited = new boolean[v];
  for (int i = 0; i < v; ++i) { // 深度优先遍历图
    if (visited[i] == false) {
      visited[i] = true;
      dfs(i, inverseAdj, visited);
    }
  }
}

private void dfs(
    int vertex, LinkedList<Integer> inverseAdj[], boolean[] visited) {
  for (int i = 0; i < inverseAdj[vertex].size(); ++i) {
    int w = inverseAdj[vertex].get(i);
    if (visited[w] == true) continue;
    visited[w] = true;
    dfs(w, inverseAdj, visited);
  } // 先把vertex这个顶点可达的所有顶点都打印出来之后，再打印它自己
  System.out.print("->" + vertex);
}

重要部分
1. 通过邻接表构造逆邻接表。邻接表中，边 s->t 表示 s 先于 t 执行，也就是 t 要依赖 s。在逆邻接表中，边 s->t 表示 s 依赖于 t，s 后于 t 执行。为什么这么转化呢？这个跟我们这个算法的实现思想有关。
2. 递归处理每个顶点。对于顶点 vertex 来说，我们先输出它可达的所有顶点，也就是说，先把它依赖的所有的顶点输出了，然后再输出自己。