【机器学习】逻辑回归
逻辑回归
原理
逻辑回归模型
逻辑回归模型（LR）是判别模型，可以用于二分类或多分类，模型如下：
二分类：
$$P(Y=1 | x)=\frac{\exp\left(w \cdot x\right)}{1+ \exp \left(w \cdot x\right)}$$
$$P(Y=0 | x)=\frac{1}{1+ \exp \left(w \cdot x\right)}$$
多分类：
$$P(Y=k | x)=\frac{\exp \left(w_{k} \cdot x\right)}{1+\sum_{k=1}^{K-1} \exp \left(w_{k} \cdot x\right)}, \quad k=1,2, \cdots, K-1$$
$$P(Y=K | x)=\frac{1}{1+\sum_{k=1}^{K-1} \exp \left(w_{k} \cdot x\right)}$$
对数几率
一个事件发生的几率，是该事件发生的概率与不发生的概率的比值，也就是样本为正例的相对可能性。在几率外面套个$log$的壳子，就变成了对数几率。对数几率可用线性函数表示，这正是线性回归模型的形式，故该模型也称为对数几率回归。$$\log\frac{P\left(Y=1|x\right)} {1-P\left(Y=1|x\right)}=w \cdot x$$
线性模型
线性模型不只有直线的样子，在$w \cdot x$的外面加上单调可微的函数就可以得到各种非线性的样子，这些模型称之为广义线性模型。线性模型的求解方法为基于均方误差的最小二乘法。
求解方法
逻辑回归模型的参数估计可以应用极大似然估计法，首先列出对数似然函数：
设$p=P(Y=1 | x)$，有：
$$L(w)=\sum_{i=1}^{N} \left[y_{i}log \left(p\right)+\left(1-y_{i}\right)log \left(1-p\right)\right]$$
$$=\sum_{i=1}^{N} [y_{i}(w \cdot x)-log(1+exp(w \cdot x))]$$
采用梯度下降法估计$L(w)$的极值，对上式求导：
$$\frac{dL}{dw}=(y_{i}-\frac{1}{1+exp(w \cdot x)}) \cdot x$$
这就是梯度的方向，在每一轮迭代的时候沿着梯度下降的方向更新参数w，这个式子又叫交叉熵损失函数。
代码实现
手动实现
class LogisticReressionClassifier:
# 超参数有学习率和迭代轮数
def __init__(self, max_iter=200, learning_rate=0.01):
self.max_iter = max_iter
self.learning_rate = learning_rate
# 建立sigmoid函数
def sigmoid(self, x):
return 1 / (1 + exp(-x))
# 给数据第一列加一列1.0，这个就是和后面的权重w相乘时得到的那个b
def data_matrix(self, X):
data_mat = []
for d in X:
data_mat.append([1.0, *d])
return data_mat
# 建立lr模型
def fit(self, X, y):
# label = np.mat(y)
data_mat = self.data_matrix(X) # m*n
# 权重初始化，都设置为0
self.weights = np.zeros((len(data_mat[0]), 1), dtype=np.float32)
# 迭代Max_iter轮
for iter_ in range(self.max_iter):
# 每轮将样本一个个计算一遍
for i in range(len(X)):
# 预测值
result = self.sigmoid(np.dot(data_mat[i], self.weights))
# 误差
error = y[i] - result
# 更新参数
self.weights += self.learning_rate * error * np.transpose(
[data_mat[i]])
print(‘LogisticRegression Model(learning_rate={},max_iter={})‘.format(
self.learning_rate, self.max_iter))
# 进行预测
def score(self, X_test, y_test):
right = 0
X_test = self.data_matrix(X_test)
for x, y in zip(X_test, y_test):
result = np.dot(x, self.weights)
if (result > 0 and y == 1) or (result < 0 and y == 0):
right += 1
return right / len(X_test)工具实现
from sklearn.linear_model import LogisticRegression clf = LogisticRegression(max_iter=200) clf.fit(X_train, y_train) clf.score(X_test, y_test)
面试问题
逻辑回归相比于线性回归，有何异同？
不同点：
逻辑回归处理分类问题，线性回归处理回归问题。逻辑回归的因变量是离散的，线性回归因变量是连续的。
相同点：
二者都使用了极大似然估计对训练样本进行建模。
当使用逻辑回归处理多分类问题时，有哪些常见做法，分别应用于哪些场景，它们之间又有怎样的关系？
如果一个样本只对应于一个标签时，利用softmax进行分类。
如果一个样本属于多个标签的情况，可以训练多个二分类，对第i个标签进行预测。
写一下LR的损失函数，加上L1/L2正则化；然后解释原理，分析不同点，怎么用
L1正则：
$$L(w)=\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \left[y_{i}log \left(p\right)+\left(1-y_{i}\right)log \left(1-p\right)\right] + \lambda \sum_{j=1}^{n}|w_{j}| \right]$$
L2正则：
$$L(w)=\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \left[y_{i}log \left(p\right)+\left(1-y_{i}\right)log \left(1-p\right)\right] + \lambda \sum_{j=1}^{n}w_{j}^{2} \right]$$
对于特征约束强的需求下l1合适，否则l2。
LR是什么假设
逻辑回归假设数据服从伯努利分布（二项分布）
LR为什么要使用sigmoid
这个问题有点难，可以从对数几率角度、sigmoid求导特性、定义域从负无穷到正无穷且值域在0到1、概率分布等角度，可以参考：
https://www.zhihu.com/question/35322351
LR为什么用交叉熵作为损失函数而不用均方差？
如果使用均方差，对参数求导的时候公式中还保留着sigmoid的导数，而sigmoid的导数在头尾均接近于0，这使得参数更新的很慢（推导一下就知道了）。
而交叉熵损失函数求导后没有sigmoid的导数，只有sigmoid，且真实值与预测值差别越大，梯度越大，更新的速度也就越快，这正是我们想要的。
LR采用什么方式抽样？有放回还是无放回？为什么？
有放回抽样，每次概率相等（个人猜测）
假设有正负两类样本，用LR去划分有什么缺陷？
若正负样本不均衡，需要上采样或下采样。下采样会有数据利用不充分问题，有一个trick：采样多次，训练多个模型，跟随机森林一样，求个平均即可
如果有很多的特征高度相关或者说有一个特征重复了100遍，会造成怎样的影响？为什么要避免共线性？
如果在损失函数最终收敛的情况下，其实就算有很多特征高度相关也不会影响分类器的效果
每一个特征都是原来特征权重值的百分之一，线性可能解释性优点也消失了
增加训练收敛的难度及耗时，有限次数下可能共线性变量无法收敛，系数估计变得不可靠
泛化能力变差，训练是两列特征可能会共线性，当线上数据加入噪声后共线性消失，效果可能变差
为什么LR需要归一化或者取对数?
模型中对数据对处理一般都有一个标答是提升数据表达能力，也就是使数据含有的可分信息量更大。
工程角度：
加速收敛
提高计算效率
理论角度:
梯度下降过程稳定
使得数据在某类上更服从高斯分布，满足前提假设
在工业界，LR通常将连续值变为离散值输入，为什么？
离散特征的增加和减少都很容易，易于模型的快速迭代；
稀疏向量内积乘法运算速度快，计算结果方便存储，容易扩展；
离散化后的特征对异常数据有很强的鲁棒性：比如一个特征是年龄>30是1，否则0。如果特征没有离散化，一个异常数据“年龄300岁”会给模型造成很大的干扰；
逻辑回归属于广义线性模型，表达能力受限；单变量离散化为N个后，每个变量有单独的权重，相当于为模型引入了非线性，能够提升模型表达能力，加大拟合；
离散化后可以进行特征交叉，由M+N个变量变为M*N个变量，进一步引入非线性，提升表达能力；
特征离散化后，模型会更稳定，比如如果对用户年龄离散化，20-30作为一个区间，不会因为一个用户年龄长了一岁就变成一个完全不同的人。当然处于区间相邻处的样本会刚好相反，所以怎么划分区间是门学问；
特征离散化以后，起到了简化了逻辑回归模型的作用，降低了模型过拟合的风险。
李沐曾经说过：模型是使用离散特征还是连续特征，其实是一个“海量离散特征+简单模型” 同 “少量连续特征+复杂模型”的权衡。既可以离散化用线性模型，也可以用连续特征加深度学习。就看是喜欢折腾特征还是折腾模型了。通常来说，前者容易，而且可以n个人一起并行做，有成功经验；后者目前看很赞，能走多远还须拭目以待。
原来的单变量可扩展到n个离散变量，每个变量有单独的权重，相当于为模型引入了非线性，能够提升模型表达能力，加大拟合
离散后结合正则化可以进行特征筛选，更好防止过拟合
数据的鲁棒性更好，不会因为无意义的连续值变动导致异常因素的影响，（31岁和32岁的差异在哪呢？）
离散变量的计算相对于连续变量更快
LR的优缺点？
优点
- 简单，易部署，训练速度快
- 模型下限较高
- 可解释性强
缺点
- 只能线性可分
- 数据不平衡需要人为处理，weight_class/有哪些常见的采样方法
- 模型上限较低
参考
西瓜书
李航统计学习方法
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theta = np.zeros #theta = array,构造全为零的行向量。grad[0,j] = np.sum/len #∑term / m. return value > threshol