数据结构与算法系列二（复杂度分析）
1.引子
1.1.为什么要学习数据结构与算法？
有人说，数据结构与算法，计算机网络，与操作系统都一样，脱离日常开发，除了面试这辈子可能都用不到呀！
有人说，我是做业务开发的，只要熟练API，熟练框架，熟练各种中间件，写的代码不也能“飞”起来吗？
于是问题来了：为什么还要学习数据结构与算法呢？
#理由一：
面试的时候，千万不要被数据结构与算法拖了后腿
#理由二：
你真的愿意做一辈子CRUD Boy吗
#理由三：
不想写出开源框架，中间件的工程师，不是好厨子1.2.如何系统化学习数据结构与算法？
我想好了，还是需要学习数据结构与算法。但是我有两个困惑：
1.如何着手学习呢？
2.有哪些内容要学习呢？
学习方法推荐：
#学习方法 1.从基础开始，系统化学习 2.多动手，每一种数据结构与算法，都自己用代码实现出来 3.思路更重要：理解实现思想，不要背代码 4.与日常开发结合，对应应用场景
学习内容推荐：
数据结构与算法内容比较多，我们本着实用原则，学习经典的、常用的数据结构、与常用算法
#学习内容：
1.数据结构的定义
2.算法的定义
3.复杂度分析
4.常用数据结构
数组、链表、栈、队列
散列表、二叉树、堆
跳表、图
5.常用算法
递归、排序、二分查找
搜索、哈希、贪心、分治
动态规划、字符串匹配2.考考你
在开篇中提到了复杂度分析，与大O表示法的概念。具体要如何进行复杂度分析，以及大O表示法的公式推导，我们在这一篇详细来看。
#考考你： 1.你知道大O表示法，公式是如何来的吗？ 2.你知道时间复杂度分析的常用原则吗？ 3.你知道常见复杂度的度量级吗？
3.案例
3.1.大O表示法公式推导
3.1.1.案例代码
我们根据以下案例代码推导大O表示法的公式。代码很简单，有没有？
// 传入参数n，求解1..n的累加和
public int sum(int n){
int sum = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){
sum += i;
}
return sum;
}3.1.2.推导过程
简述：
1.对于程序代码中的每一行代码，从cpu的角度来看，执行的时候都有：读数据->运算->写数据过程
2.我们假定每一行代码的执行时间都相同，都是一个单位时间：unit_time
3.那么sum方法中，代码执行的总时间是多少呢
public int sum(int n){
int sum = 0;// 第二行代码执行，需要1 个unit_time
for(int i = 1; i <= n; i++){// 第三行代码执行，需要n 个unit_time
sum += i;// 第四行代码执行，需要n 个unit_time
}
return sum;// 第五行、第六行代码暂时忽略，不影响
}4.根据3推导，sum方法的总执行时间是：
T(n)=(n + n + 1) * unit_time = (2n +1) * unit_time=O(f(n))
5.结论：所有代码的执行时间T(n)，与每行代码的执行次数成正比
6.提取出公式即：T(n) = O(f(n))
#公式解读： T(n)：代表代码执行时间 n：代表数据规模 f(n)：代表每行代码执行的次数总和 O：表示代码执行时间T(n)，与代码执行次数f(n)成正比
7.这就是大O表示法的公式来源，表示代码的执行时间T(n)，与代码的执行次数f(n)成正比
8.进一步理解：
1.大O表示法：时间复杂度，表示数据规模n的增长，与算法执行时间的增长趋势 2.大O表示法：空间复杂度，表示数据规模n的增长，与算法存储空间的增长趋势
3.1.3.约定
大O表示的公式，以及含义我们已经推导出来了。它表示的是数据规模n的增长，与算法执行时间，或者存储空间的增长趋势。这里需要关注两个字：趋势。
根据常理我们知道，常量、系数、低阶不会影响趋势，因此在实际复杂度分析中，往往忽略常量、系数、低阶。
那么上面案例的时间复杂度大O表示法公式，省略系数、常量：
可以从：T(n) = O(f(n)) = O(2n+1)
简化成：T(n) = O(n)
3.2.时间复杂度案例
在复杂度分析中，有时间复杂度分析和空间复杂度分析。它们是从两个维度来衡量算法的优劣。实际分析方式类似，我们以时间复杂度分析为例。
时间复杂度分析，有几个基本的原则，你都知道吗？
#时间复杂度分析基本原则 1.只关注循环次数最多的代码 2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度 3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
3.2.1.只关注循环次数最多的代码
案例代码：
public int sum(int n){
int sum = 0;// 第二行代码执行，需要1 个unit_time
for(int i = 1; i <= n; i++){// 第三行代码执行，需要n 个unit_time
sum += i;// 第四行代码执行，需要n 个unit_time
}
return sum;// 第五行、第六行代码暂时忽略，不影响
}复杂度分析：
1.这里的原则：只关注循环次数最多的代码
2.第二行代码执行，需要1 个unit_time
3.第三行代码执行，需要n 个unit_time
4.第四行代码执行，需要n 个unit_time
5.第五行、第六行代码暂时忽略，不影响
6.通过以上分析，第三行、第四行代码循环执行次数最多：n。因此时间复杂度为：O(n)
3.2.2.加法法则
简述：
加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
案例代码：
public int sum(int n){
// 第一段代码
int sum_1 = 0;
for(int i=1; i< 100; i++){
sum_1 += i;
}
// 第二段代码
int sum_2 = 0;
for(int j = 1; j <= n; j++){
sum_2 += j;
}
// 第三段代码
int sum_3 = 0;
for(int k = 1; k <= n;k++){
for(int h = 1; h <= n; h++){
sum_3 += k * h
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}复杂度分析：
1.在sum方法中有两段代码
2.第一段代码，复杂度是：O(100)
3.第二段代码，复杂度是：O(n)
4.第三段代码，复杂度是：O(n^2)
5.总复杂度是：O(100) + O(n) +O(n^2)
6.根据加法法则，最终复杂度是：O(n^2)
3.2.3.乘法法则
简述：
乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
案例代码：
public int sum(int n){
int sum_1 = 0;
for(int i=1; i< n; i++){// 第一层循环
sum_1 += multi(i) ;// multi方法中，有第二层循环
}
}
public int multi(int n){
int multi_1 = 0;
for(int i = 1; i<= n; i++){// 第二层循环
multi_1 *= i;
}
return multi_1;
}复杂度分析：
1.在sum方法中，有第一层循环：for(int i=1; i< n; i++){
2.在sum方法中，调用multi方法
3.在multi方法中，有第二层循环：for(int i = 1; i<= n; i++){
4.根据乘法法则，总时间复杂度等于，第一层循环，乘以第二层循环
5.因此总时间复杂度是：O(n*n) = O(n^2)
4.讨论分享
#考考你答案： 1.你知道大O表示法，公式是如何来的吗？ 1.1.参考【3.1.大O表示法公式推导】 2.你知道时间复杂度分析的常用原则吗？ 2.1.只关注循环次数最多的代码 2.2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度 2.3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积 3.你知道常见复杂度的度量级吗？ 3.1.常数阶：O(1) 2.2.对数阶：O(logn) 2.3.线性阶：O(n) 2.4.线性对数阶：O(nlogn) 2.5.平方阶：O(n^2) 2.6.立方阶：O(n^3)