物质的数论（物质的几何学）

　　美国的数学家和数学史权威莫里斯?克莱因教授说：“1930年以后［西方数学］的全部发展还留下来两个没有解决的大问题：去证明不加限制的经典分析与集合论的相容性，以及在［几何］严格直观的根基上去［重新］建立数学，或者去确定这种途径的限度。在这两个问题中，困难的根源都在于无穷集合和无限程序中所用到的无限（infinity）。这个概念，即使对于希腊人也已经在无理数上造成了问题，而且他们在穷竭法中躲开它。从那以后，无限这个概念一直是争论的题目，并使外尔（Weyl）说道，数学是无限的科学。”（〔美〕莫里斯?克莱因. 古今数学思想: 第三册[M]. 邓东皋、张恭庆 等译.上海: 上海科学技术出版社, 2014:353.）

　　纯数学是定量探索和求解现实宇宙（现实世界）各种运动及其运动的形、数结合几何学形式规律表现的理论科学。《辞海》：“数学——研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。”即数学是研究现实世界的形和数的科学。 恩格斯说《反杜林论》：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。……纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”又恩格斯《自然辩证法》：“数学——辩证的辅助工具和表现形式。” 纯数学或数学科学又称为宇宙的几何学或物质的几何学，还称为宇宙的数论或物质的数论。数学模型即宇宙的几何学模型，亦即宇宙自我量度（运动）的定量几何形式表示或表现。

　　宇宙统一于物质。恩格斯《反杜林论》中说：“运动是物质的存在方式。无论何时何地，都没有也不可能有没有运动的物质。” 换言之，物是动者，动者是物，不存在绝对不动的物。所有的物质（整个宇宙）是绝对运动的，绝对运动者是也只能是整个宇宙。整个宇宙的各种运动包括两大方面：一方面是整个宇宙的整体运动——绝对运动；再就是整个宇宙内部的各种运动——相对性运动。《淮南子?诠言训》：“故动而谓之生”。

　　客观的事实是：我们在物质实践中直接经验到（看到或体验到）物有形，而用形刻画或表示物，或者说形是从实物抽象得来的；再为形配数，从而形有数，以定量刻画物。

　　《康熙字典》：“物，《说文》万物也。《玉篇》凡生天地之间，皆谓物也。《易?乾卦》品物流形。”《庄子?秋水》中说：“号物之数谓之万。”又：“夫精［细微小］粗［大］者，期［求解］于有形者也。无形者，数之所不能分也；不可围［即无界］者，数之所不能穷也。可以言论者，物之粗也；可以意致［推理求解］者，物之精也。” 即按照《庄子?天道》所谓“一尺之捶，日取其半，万世不竭”而“以至于无为”的几何物理方法（几何分形及其张量态等）分析和可求解得的数值无穷小的量度（形不竭者）——量子，是物之精也（《庄子?秋水》：“夫精，小之微也”）。一尺者，一之形也。表整个宇宙的一尺，为借用物之粗大直观有形而可围有界者，则可以整体把握地言论界定其数之所能分及所能穷也；以其数之无穷无止，论其形不竭者之动，此谓辩证法的“物的数论”，其根基在于数之形（即数的几何）的动态。这样一来，精细微小及粗大之物（微观或宏观的量子态）的运动规律也就可以推理求解或意致。

庄子像

　　在几何学历史上，形有三种单位：① 一维的线[长度]单位（图A）——尺 ；② 二维的面积单位（图A′）——尺×尺=尺²=平方尺；③ 三维的体积单位（图A″）——尺×尺×尺=尺³=立方尺 。在形的上述三种单位中，最基本最简单的是长度单位——尺（图A）。

（图　形有三种单位）

　　再者，《几何原本》卷一之首：点为线［长度］之界，线为面之界，面为体之界，体不可为界。界之间为形。（又见于1999年版《辞海 • 界》）

　　我们提出了公理：“宇宙只有一个”的一维流形表示（即“一尺”），作为纯数学演绎推导的唯一出发点，在严格几何直观的根基上去重新建立数学，不需要其他假设，在现实宇宙（物质宇宙）的所有维度中都成立。其推导出宇宙物质的量子数即几何的自然数可以被解释为整个宇宙内部能量耗损之“商”增至最大（与“熵”增过程对立）。从几何自然数导出的几何整数微分，是量子无穷可积系统的初始条件，其刻画量子凝聚形式有序宇宙（或凝聚态物质过程——我们人类的宇宙过程）的初始条件。几何整数微分可以被解释为物质量子间的吸引相互作用（量子引力）出现或发生。而量子引力也是形成基本粒子的基本条件。以几何整数微分为条件，可用有限多个步骤（程序）导出量子无穷可积系统的几何整数无穷积分（即几何整数无穷集合）有完整解，其在粒子物理学中可以被解释为凝聚态宇宙的大爆炸（暴胀和膨胀）的数学表示一定始于一个严格直观重整化的几何内积单位（而不是始于一个“奇点”）。此几何学模型可导出整个宇宙原子内部的物质基本粒子群论及其粒子间的“强、弱、引、电”这四种相互作用（力）之于量子场的“统一场论”。（《变革庞加莱猜想：破译宇宙的形态》）

【附录】

　　据说：“格里戈里•佩雷尔曼是个杰出的数学天才，他因证明了‘庞加莱猜想’而闻名于世，全球数学界的同行花费了两年时间才看懂他的证明。” 2002年11月12日，十多位数学家收到了佩雷尔曼的一封信：

请允许我提醒您关注我在arXiv上发表的论文，该篇论文的编号是math.DG0211159。

摘要：本文中我们提出了一个Ricci流的单调表示，其不需要曲率假设，在所有维度中都成立。这可以被解释为某个典型集合的熵。……

祝万事如意！

佩雷尔曼的第一个论文预印本

在这封信中，佩雷尔曼并未宣称自己证明了“庞加莱猜想”，甚至没有说明自己解决的问题是什么。（SME情报员. 《他轻取百万美金数学大奖，却以“不感兴趣”拒绝领奖隐居成谜》. 引自“SME科技故事”[微信号ID: SMELab]，2018-10-28. https://mp.weixin.qq.com/s/qbRIqGYM4Mbqx42K456ahw）