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UX005

在上一次的讨论UX004中，留下了一个“拆弹问题”。

解决这个问题的主要方法是“解方程”。

方程是啥?

方程这个词其实常常听到，但是具体是啥，估计很多人早就忘了。

定义：有代数的等式叫方程式。

所以，方程和函数本质上就是一种东西，他们就可以用解析式来表示，也可以用图像来表示。

如果函数的定义是“狭义”的,也就是“单值函数”：确定的参数,只能对应唯一的输出值。

那么他们算是有一些区别。

比如：y=x^2 和 x=y^2 ,如果函数的定义是狭义的,那么第二个方程就不能算是函数。

一种东西为什么有两个名字呢?

一个是之前提到的“单值函数”问题。在这种狭义的定义下，是不完全一样的。

另外，在说“方程”时,往往想找到确定的“解”，从图像上来说，也就是找到“点”。

谈论“函数”的时候,往往想描述“对应关系”,这是一种变化过程，也可以说是方程的“解集”。

从图像上来看就是密密麻麻的一堆点，点连一在起就会形成图形，这就是函数的图像。

不定方程

首先提一下：多个方程可以合并在一起形成“方程组”，这个过程叫做“联立方程组”。

继续说回函数与方程的关系。

y=x^2-2x-2，它既是一个函数，又是一个方程。

由于这种方程有无数个解，习惯上我们并不叫它“方程”，如果非要叫的话，这种东西叫做“不定方程”。

如果一个方程组中方程的数量,少于其未知数的数量,那么这种方程就被我们称为“不定方程”。

如果未知数的数量很多，那么最后的解也非常多，我们就偏向于观察它的对应关系；但是当有多个图像时(联立方程组)，他们就可能会存在“交点”，这个时候我们就可以观察到具体的某个点。

这就是解方程的基本原理。

解方程

上一次我们提到的那个问题其实就是求方程组的“解”(也叫做“根”)，其实坐标系的X轴也是一个函数，y=0，它是一个“零次函数”或者说“常值函数”。

求解方程的方法

解方程是一项非常繁琐而枯燥的工作。

自从有了计算机之后，少有人再去干这种苦活累活。

这种无聊的事情最适合计算机来做了，所以说“计算机大大的延长了数学家的寿命”。

在前言中说过，这一系列文章中使用的数学软件主要是Geogebra(负责几何绘图)和Mathematica(负责解方程等)。

Mathematica 是世界上最著名的数学软件之一，他最重要的特点就是上手简单，语法和数学语言很接近。

Mathematica 可以很快的解决我们刚才提出的那个“拆弹”问题。

它几乎在瞬间就给出了正确答案。

Mathematica 非常智能和友好

Mathematica也非常智能,输入时可以自动提示相关的参数。

之所以选择 Mathematica ,还有一个重要原因，就是它也的中文资源非常多,软件都是汉化版的，并且自带中文帮助文档。

正因为它如此易于使用，所以在这里我们也不会介绍它的使用方法,如果需要请自行翻阅相关文档和书籍,例如《Wolfram 语言基础入门》和《 Mathematica 实用编程指南》。

方程的通解[1]

既然第二次函数都可以变成 y=ax^2+bx+c(a≠0) 的形式。有没有可能求出一个“通解”，也就是用待定系数(常数)a/b/c表示的一种通用解?

让 Mathematica 告诉我们答案。

但并不是所有的方程都会有这种“通解”。

一元五次方程就是没有的。

与“通解”相对的一个概念叫做“特解”，也就是说，方程中的所有“系数”都已确定。

通解不需要记忆

天呐！这一串东西实在是太恐怖了，该怎么记住呢？

通解是不需要记忆的。

如果用的多了，自然就会记住一些简单通解，二次函数通解就是非常简单的。

正如 "每个人" 都记着二次方程的解；"没有人" 记得三次方程的解。[2]

方程的实根

函数图像的交点就是方程的根，不过仅仅是“实数根”。

拿“二次函数实数通解”来说吧，这个式子可能是没有意义的。

因为他有个根号，根号内的数值如果是负数，那么就不在“实数域”内，在高中所有的定义域默认为“实数域”。当时我们只需要知道“无实根”就可以了，先不要继续往下探究。

出现这种情况，就代表着图像没有交点；如果计算出来是一个值那么就代表有一个交点，两个值就代表有两个交点；以此类推。

符号的变化

因为,有零点就表明函数图像穿过了x轴,也就是改变符号。

所以说只要函数是连续的,每经过一次零点,那么符号就会改变一次;如果符号改变了，那一定是已经经过了零点。

关于二次函数的一些结论

“通解”出来了之后，我们可以根据对称的性质，求出对称轴的解析式。

进而通过这两个式子，归纳出广义二次函数的一些特性。

这里我就不挨个写了，从教辅上直接摘抄一张图片，有兴趣的可以多看看：

总结

1. 有代数的等式叫方程式
2. 广义上的函数和方程几乎是一回事。
3. 两个函数图像的“交点”就是他们函数解析式方程组的“实数解”。
4. 解方程是一项繁琐的工作，目前主要由计算机来完成。
5. 不是每一个方程都有“通解”。

注释

[1] “通解”的准确定义，我好像并没有查到。好像只是定义在线性微分方程领域中。如果确实是如此，那就是我自己的定义，以后冲突再改吧，这个东西叫着爽。

[2] 摘自 https://cloud.tencent.com/dev...

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我是心如止水，欢迎你和我换个姿势学数学。