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神经网络和深度学习—浅层神经网络

1. 神经网络表示

简单神经网络示意图：

神经网络基本的结构和符号可以从上面的图中看出，这里不再复述。

主要需要注意的一点，是层与层之间参数矩阵的规格大小：

• 输入层和隐藏层之间
• w[1]−>(4,3)：前面的4是隐层神经元的个数，后面的3是输入层神经元的个数；
• b[1]−>(4,1)：和隐藏层的神经元个数相同；
• 隐藏层和输出层之间
• w[1]−>(1,4)：前面的1是输出层神经元的个数，后面的4是隐层神经元的个数；
• b[1]−>(1,1)：和输出层的神经元个数相同；

由上面我们可以总结出，在神经网络中，我们以相邻两层为观测对象，前面一层作为输入，后面一层作为输出，两层之间的w参数矩阵大小为(nout,nin)，b参数矩阵大小为(nout,1)，这里是作为z=wX+b的线性关系来说明的，在神经网络中，w[i]=wT。

在logistic regression中，一般我们都会用(nin,nout)来表示参数大小，计算使用的公式为：z=wTX+b，要注意这两者的区别。

2. 计算神经网络的输出

除输入层之外每层的计算输出可由下图总结出：

其中，每个结点都对应这两个部分的运算，z运算和a运算。

在编程中，我们使用向量化去计算神经网络的输出：

在对应图中的神经网络结构，我们只用Python代码去实现右边的四个公式即可实现神经网络的输出计算。

3. 向量化实现

假定在m个训练样本的神经网络中，计算神经网络的输出，用向量化的方法去实现可以避免在程序中使用for循环，提高计算的速度。

下面是实现向量化的解释：

由图可以看出，在m个训练样本中，每次计算都是在重复相同的过程，均得到同样大小和结构的输出，所以利用向量化的思想将单个样本合并到一个矩阵中，其大小为(xn,m)，其中xn表示每个样本输入网络的神经元个数，也可以认为是单个样本的特征数，m表示训练样本的个数。

通过向量化，可以更加便捷快速地实现神经网络的计算。

4. 激活函数的选择

几种不同的激活函数g(x)

g(x)：

激活函数的选择：

sigmoid函数和tanh函数比较：

• 隐藏层：tanh函数的表现要好于sigmoid函数，因为tanh取值范围为[−1,+1]
• [−1,+1]，输出分布在0值的附近，均值为0，从隐藏层到输出层数据起到了归一化（均值为0）的效果。
• 输出层：对于二分类任务的输出取值为{0,1}
• {0,1}，故一般会选择sigmoid函数。

然而sigmoid和tanh函数在当|z|很大的时候，梯度会很小，在依据梯度的算法中，更新在后期会变得很慢。在实际应用中，要使|z|尽可能的落在0值附近。

ReLU弥补了前两者的缺陷，当z>0时，梯度始终为1，从而提高神经网络基于梯度算法的运算速度。然而当z<0时，梯度一直为0，但是实际的运用中，该缺陷的影响不是很大。

Leaky ReLU保证在z<0的时候，梯度仍然不为0。

在选择激活函数的时候，如果在不知道该选什么的时候就选择ReLU，当然也没有固定答案，要依据实际问题在交叉验证集合中进行验证分析。

5. 神经网络的梯度下降法

以本节中的浅层神经网络为例，我们给出神经网络的梯度下降法的公式。

下面为该例子的神经网络反向梯度下降公式（左）和其代码向量化（右）：

6. 随机初始化

如果在初始时，两个隐藏神经元的参数设置为相同的大小，那么两个隐藏神经元对输出单元的影响也是相同的，通过反向梯度下降去进行计算的时候，会得到同样的梯度大小，所以在经过多次迭代后，两个隐藏层单位仍然是对称的。无论设置多少个隐藏单元，其最终的影响都是相同的，那么多个隐藏神经元就没有了意义。

在初始化的时候，W

W参数要进行随机初始化，b

b则不存在对称性的问题它可以设置为0。

以2个输入，2个隐藏神经元为例：

W = np.random.rand((2,2))* 0.01

b = np.zero((2,1))

这里我们将W的值乘以0.01是为了尽可能使得权重W初始化为较小的值，这是因为如果使用sigmoid函数或者tanh函数作为激活函数时，W比较小，则Z=WX+b

Z=WX+b所得的值也比较小，处在0的附近，0点区域的附近梯度较大，能够大大提高算法的更新速度。而如果W设置的太大的话，得到的梯度较小，训练过程因此会变得很慢。

ReLU和Leaky ReLU作为激活函数时，不存在这种问题，因为在大于0的时候，梯度均为1。