线性方程组

• 线性方程组是线性代数的核心
• 解的集合称为解集,若两个线性方程组有相同的解集,则他们等价
• 线性方程组的解有三类 1. 无解 2. 有唯一解 3. 有无穷多解.
• 无解,则线性方程组不相容.
• 有唯一解或有无穷多解,则线性方程组相容.
• 线性方程组的系数可以写成系数矩阵,缺失的部位补0即可.

解线性方程组的一般方法(高斯消元法).

1. 将方程组用一个更容易解的等价方程组替代.

具体方法

• 将某一方程系数变成他和另一个方程的某个倍数之和.
• 交换两个方程的位置.
• 某一方程的所有项乘以一非零常数.

行初等变换

• 倍加变换.
• 对换变换.
• 倍乘变换.

初等变换.

• 若一个矩阵经过一系列行初等变换,变成另一个矩阵,则称这两个矩阵等价.
• 若两个线性方程组的增广矩阵是行等价的,则它们具有相同的解集.

线性方程组的两个基本问题.

• 方程组是否相容,他是否至少有一个解.
• 若相容,其解是否唯一.

补充

• 计算机运算是线性方程组时使用高斯消元法时,因为舍入误差的原因,会产生错误的结果.

总结

1. 本节直接提出高斯消元法,对方程组进行求解.
2. 注意,高斯消元法计算时,不仅仅系数矩阵在进行初等变换,Ax=b的b也在进行初等变换.