数据结构学习笔记-时间复杂度
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时间复杂度定义
在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度,记作:T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐近时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。这样用大写O()来体现算法的时间复杂度的记法,我们称之为大O记法。
推导大O阶方法
如何分析一个算法的时间复杂度呢?即如何推导大O阶呢?我们可以参考下面的推导方法。
推导大O阶: 1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 2. 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。 3. 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。 得到的结果就是大O阶。
下面让我们根据这个推导方法来看几个例子。
常数阶
int sum = 0,n = 100; /* 执行一次 */ sum = (1 + n) * n/2; /* 执行一次 */ System.out.println(sum); /* 执行一次 */
这段程序的执行次数是f(3)。我们使用大O阶的方法推导一下:
- 将常数项3改为1。
- 保留最高阶项。
没有最高阶项,所以这段程序的时间复杂度为O(1).
可以试想一下,如果这段代码里的
sum = (1 + n) * n/2; /* 执行一次 */
一共有10句,那么时间复杂度是多少呢?
事实上,无论有多少句该代码,都不过是3次和多次的执行差异。像这种执行时间恒定的算法,我们称之为具有O(1)的时间复杂度,又叫常数阶。
注意:无论这个常数是多少,我们都记作O(1)。
同理,对于单纯分支结构(不包含在循环中的if或switch语句)而言,执行的次数都是恒定的,其时间复杂度也是O(1)。
线性阶
线性阶的循环结构会复杂一些。要确定某个算法的阶次,我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集的运行次数。因此,我们要分析算法的复杂度,关键就是要分析循环结构的运行情况。
下面这段代码,它的循环时间复杂度为O(n),因为循环中的代码须要执行n次。
for(int i = 0; i < n; i++){ }
对数阶
int count = 1; while(count < n){ count = count * 2; }
由于每次count乘以2之后,就离n更近了一些。也就是是,有多少个2相乘后大于n,则会退出循环。由2^x=n得到x=log2n(以2为底n的对数)。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。
平方阶
下面例子是一个循环嵌套,它的内循环时间复杂度为O(n)。
int i,j; for(i = 0; i < n; i++){ for(j = 0; j < n; j++){ } }
对于外循环不过是这个时间复杂度为O(n)的语句循环了n次,所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。
如果外循环的次数改为了m,那么时间复杂度就变为了O(m*n)。
所以我们可以总结出来:循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以循环运行的次数。
那么,下面这段代码的时间复杂度是多少呢?
int i,j; for(i = 0; i < n; i++){ for(j = i; j < n; j++){ } }
我们可以推导一下当i = 0 时,内循环执行了n次;当i = 1时,执行了n - 1次,……当 i = n-1时,执行了1次。所以总的执行次数为:
n + (n-1) + (n-2) + …… + 1 = n(n+1)/2 = n^2/2 + n/2
用推导大O阶的方法
- 由于没有加法常数,可以不考虑
- 只保留最高阶,也就是保留n^2/2
- 去除常数的相乘项,也就是去除1/2
最终,这段代码的时间复杂度就是O(n^2)。
常见的时间复杂度
该表列举了一些常见的时间复杂度
执行次数函数 | 阶 | 非正式术语 |
---|---|---|
12 | O(1) | 常数阶 |
2n+3 | O(n) | 线性阶 |
3n^2+2n+1 | O(n^2) | 平方阶 |
5log2n(2为底n的对数)+20 | O(logn) | 对数阶 |
2n+3log2n(2为底n的对数)+19 | O(nlgon) | nlogn阶 |
6n^3+2n^2+3n+4 | O(n^3) | 立方阶 |
2^n | O(2^n) | 指数阶 |
常用的时间复杂度从小到大依次是:
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)