有趣的Scala语言: 使用递归的方式去思考
在初学计算机编程时，我想大多数人的经历会和作者一样，学校为我们挑选一门语言，大多为 C 或 Java，先是基本的数据类型，然后是程序控制语句，条件判断，循环等，书上会教我们如何定义一个函数，会说程序就是一条一条的指令，告诉计算机该如何操 作。同时，我们还会看到如何定义一个递归函数，用来计算阶乘或斐波那契数列。工作以后，其他的这些基础还在日复一日的使用，但递归却很少再被用到，以致我 们很难再用递归的方式去解决问题了，为此，我们还有一个借口：递归性能差，使用循环效率高。事实真是这样的吗？我们为自己某种能力的丧失编织了一个美丽的 谎言，直到越来越多的编程语言变得流行起来，使我们有机会看到各种语言、各种风格写出的程序，才发现自己应该重新审视递归这一概念了。
为什么递归会受到忽视
为 了回答这一问题，必须先说到编程范式。在所有的编程范式中，面向对象编程（Object-Oriented Programming）无疑是最大的赢家。看看网上的招聘启事，无一例外，会要求应聘者熟练掌握面向对象编程。但其实面向对象编程并不是一种严格意义上 的编程范式，严格意义上的编程范式分为：命令式编程（Imperative Programming）、函数式编程（Functional Programming）和逻辑式编程（Logic Programming）。面向对象编程只是上述几种范式的一个交叉产物，更多的还是继承了命令式编程的基因。遗憾的是，在长期的教学过程中，只有命令式 编程得到了强调，那就是程序员要告诉计算机应该怎么做，而不是告诉计算机做什么。而递归则通过灵巧的函数定义，告诉计算机做什么。因此在使用命令式编程思 维的程序中，不得不说，这是现在多数程序采用的编程方式，递归出镜的几率很少，而在函数式编程中，大家可以随处见到递归的方式。下面，我们就通过实例，为 大家展示递归如何作为一种普遍方式，来解决编程问题的。
一组简单的例子
如何为一组整数数列求和？按照通常命令式编程的思 维，我们会采用循环，依次遍历列表中的每个元素进行累加，最终给出求和结果。这样的程序不难写，稍 微具备一点编程经验的人在一分钟之内就能写出来。这次我们换个思维，如何用递归的方式求和？为此，我们不妨把问题简化一点，假设数列包含 N 个数，如果我们已经知道了后续 N – 1 个数的和，那么整个数列的和即为第一个数加上后续 N – 1 个数的和，依此类推，我们可以以同样的方式为 N – 1 个数继续求和，直到数列为空，显然，空数列的和为零。听起来复杂，事实上我们可以用一句话来总结：一个数列的和即为数列中的第一个数加上由后续数字组成的 数列的和。现在，让我们用 Scala 语言把这个想法表达出来。
清单 1. 数列求和
//xs.head 返回列表里的头元素，即第一个元素 //xs.tail 返回除头元素外的剩余元素组成的列表 def sum(xs: List[Int]): Int = if (xs.isEmpty) 0 else xs.head + sum(xs.tail)
大家可以看到，我们只使用一行程序，就将上面求和的方法表达出来了，而且这一行程序看上去简单易懂。尽量少写代码，这也是 Scala 语言的设计哲学之一，较少的代码量意味着写起来更加容易，读起来更加易懂，同时代码出错的概率也会降低。同样的程序，使用 Scala 语言写出的代码量通常会比 Java 少一半甚至更多。
上述这个数列求和的例子并不是特别的，它代表了递归对于列表的一种普遍的处理方式，即对一个列表的操作，可转化为对第一个元素，及剩余列表的相同操 作。比如我们可以用同样的方式求一个数列中的最大值。我们假设已经知道了除第一个元素外剩余数列的最大值，那么整个数列的最大值即为第一个元素和剩余数列 最大值中的大者。这里需要注意的是对于一个空数列求最大值是没有意义的，所以我们需要向外抛出一个异常。当数列只包含一个元素时，最大值就为这个元素本 身，这种情况是我们这个递归的边界条件。一个递归算法，必须要有这样一个边界条件，否则会一直递归下去，形成死循环。
清单 2. 求最大值
def max(xs: List[Int]): Int = {
if (xs.isEmpty)
throw new java.util.NoSuchElementException
if (xs.size == 1)
xs.head
else
if (xs.head > max(xs.tail)) xs.head else max(xs.tail)
}v 同样的方式，我们也可以求一个数列中的最小值，作为一个练习，读者可下去自行实现。
让我们再看一个例子：如何反转一个字符串？比如给定一个字符串"abcd"，经过反转之后变为 "dcba"。同样的，我们可以做一个大胆的假设，假设后续字符串已经反转过来，那么接上第一个字符，整个字符串就反转过来了。对于一个只有一个字符的字符串，不需要反转，这是我们这个递归算法的边界条件。程序实现如下：
清单 3. 反转字符串
def reverse(xs: String): String = if (xs.length == 1) xs else reverse(xs.tail) + xs.head
最后一个例子是经典的快速排序，读者可能会觉得这个例子算不上简单，但是我们会看到，使用递归的方式，再加上 Scala 简洁的语言特性，我们只需要短短几行程序，就可以实现快速排序算法。 快速排序算法的核心思想是：在一个无序列表中选择一个值，根据该值将列表分为两部分，比该值小的那一部分排在前面，比该值大的部分排在后面。对于这两部分 各自使用同样的方式进行排序，直到他们为空，显然，我们认为一个空的列表即为一个排好序的列表，这就是这个算法中的边界条件。为了方便起见，我们选择第一 个元素作为将列表分为两部分的值。程序实现如下：
清单 4. 快速排序
def quickSort(xs: List[Int]): List[Int] = {
if (xs.isEmpty) xs
else
quickSort(xs.filter(x=>x<xs.head)):::xs.head::quickSort(xs.filter(x=>x>xs.head))
} 当然，为了使程序更加简洁，作者在这里使用了列表中的一些方法：给列表增加一个元素，连接两个列表以及过滤一个列表，并在其中使用了 lambda 表达式。但这一切都使程序变得更符合算法的核心思想，更加易读。
尾递归
从上面的例子中我们可以看到，使用递归方式写出的程序通常通俗易懂，这其实代表这两种编程范式的不同，命令式编程范式倾向于使用循环，告诉计算机怎 么做，而函数式编程范式则使用递归，告诉计算机做什么。习惯于命令式编程范式的程序员还有一个担忧：相比循环，递归不是存在效率问题吗？每一次递归调用， 都会分配一个新的函数栈，如果递归嵌套很深，容易出现栈溢出的问题。比如下面计算阶乘的递归程序：
清单 5. 递归求阶乘
def factorial(n: Int): Int = if (n == 0) 1 else n * factorial(n - 1)
当递归调用 n – 1的阶乘时，由于需要保存前面的 n，必须分配一个新的函数栈，这样当 n很大时，函数栈将很快被耗尽。然而尾递归能帮我们解决这个问题，所谓尾递归是指在函数调用的最后一步，只调用该递归函数本身，此时，由于无需记住其他变量，当前的函数栈可以被重复使用。上面的程序只需稍微改造一下，既可以变成尾递归式的程序，在效率上，和循环是等价的。
清单 6. 尾递归求阶乘
def factorial(n: Int): Int = {
@tailrec
def loop(acc: Int, n: Int): Int =
if (n == 0) acc else loop(n * acc, n - 1)
loop(1, n)
} 在上面的程序中，我们在阶乘函数内部定义了一个新的递归函数，该函数最后一步要么返回结果，要么调用该递归函数本身，所以这是一个尾递归函数。该函数多出一个变量 acc，每次递归调用都会更新该变量，直到递归边界条件满足时返回该值，即为最后的计算结果。这是一种通用的将非尾递归函数转化为尾递归函数的方法，大家可多加练习，掌握这一方法。对于尾递归，Scala 语言特别增加了一个注释 @tailrec，该注释可以确保程序员写出的程序是正确的尾递归程序，如果由于疏忽大意，写出的不是一个尾递归程序，则编译器会报告一个编译错误，提醒程序员修改自己的代码。
一道面试题
也许有的读者看了上面的例子后，还是感到不能信服：虽然使用递归会让程序变得简洁易懂，但我用循环也一样可以实现，大不了多几行代码而已，而且我还 不用知道什么尾递归，写出的程序就是效率最高的。那我们一起来看看下面这个问题：有趣的零钱兑换问题。题目大致如下：假设某国的货币有若干面值，现给一张 大面值的货币要兑换成零钱，问有多少种兑换方式。这个问题经常被各大公司作为一道面试题，不知难倒了多少同学，下面我给出该问题的递归解法，读者们可以试 试该问题的非递归解法，看看从程序的易读性，及代码数量上，两者会有多大差别。该问题的递归解法思路很简单：首先确定边界条件，如果要兑换的钱数为 0，那么返回 1，即只有一种兑换方法：没法兑换。这里要注意的是该问题计算所有的兑换方法，无法兑换也算一种方法。如果零钱种类为 0 或钱数小于 0，没有任何方式进行兑换，返回 0。我们可以把找零的方法分为两类：使用不包含第一枚硬币（零钱）所有的零钱进行找零，使用包含第一枚硬币（零钱）的所有零钱进行找零，两者之和即为所有 的找零方式。第一种找零方式总共有 countChange(money, coins.tail)种，第二种找零方式等价为对于 money – conins.head进行同样的兑换，则这种兑换方式有 countChange(money - coins.head, coins)种，两者之和即为所有的零钱兑换方式。
清单 7. 零钱兑换问题的递归解法
def countChange(money: Int, coins: List[Int]): Int = {
if (money == 0)
1
else if (coins.size == 0 || money < 0)
0
else
countChange(money, coins.tail) + countChange(money - coins.head, coins)
} 结束语