洛谷P1291 [SHOI2002]百事世界杯之旅(期望DP)
题目描述
“……在2002年6月之前购买的百事任何饮料的瓶盖上都会有一个百事球星的名字。只要凑齐所有百事球星的名字,就可参加百事世界杯之旅的抽奖活动,获得球星背包,随声听,更克赴日韩观看世界杯。还不赶快行动!”
你关上电视,心想:假设有n个不同的球星名字,每个名字出现的概率相同,平均需要买几瓶饮料才能凑齐所有的名字呢?
输入输出格式
输入格式:
整数n(2≤n≤33),表示不同球星名字的个数。
输出格式:
输出凑齐所有的名字平均需要买的饮料瓶数。如果是一个整数,则直接输出,否则应该直接按照分数格式输出,例如五又二十分之三应该输出为(复制到记事本):
3 5-- 20 第一行是分数部分的分子,第二行首先是整数部分,然后是由减号组成的分数线,第三行是分母。减号的个数应等于分母的为数。分子和分母的首位都与第一个减号对齐。
分数必须是不可约的。
输入输出样例
输入样例#1:
2输出样例#1:
3
说一种和楼上不一样的状态(本质是一样的)
我们用$f(i)$表示一共用$n$个不同的球星,已经收集到$i$个不同的球星
考虑转移,有两种状态
1. 买到不同时转移而来,概率为
$$\frac{n-i}{n}f(i-1)$$
2. 买到相同时转移而来,概率为
$$\frac{i}{n}f(i)$$
那么总共的情况就是
$$f(i)=\frac{n-i}{n}f(i-1)+\frac{i}{n}f(i)+1$$
化简得到
$$f(i)=f(i-1)+\frac{n}{n-i}$$
这个公式实际是在计算
$$n*\sum_1^n{\frac{1}{n-i}}$$
然后暴力算就可以了
#include<cstdio> #define int long long int int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);} int calc(int x) { int base=0; while(x) base++,x/=10; return base; } main() { int N; scanf("%lld",&N); int up=1,down=N; for(int i=N-1;i>=1;i--) { up=up*i+down;down=down*i; int r=gcd(up,down); up/=r;down/=r; } up=up*N; int r=gcd(up,down); up/=r;down/=r; if(up%down==0) {printf("%lld",up/down);return 0;} int numa=calc(up/down),numb=calc(down); for(int i=1;i<=numa;i++) printf(" ");printf("%lld",up%down);puts("");//分子 if(up/down>1) printf("%lld",up/down);for(int i=1;i<=numb;i++) printf("-");puts("");//注意这里要特判 for(int i=1;i<=numa;i++) printf(" ");printf("%lld",down); return 0; }
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