51nod 1244 莫比乌斯函数之和(杜教筛)
基准时间限制:3秒 空间限制:131072KB 分值:320难度:7级算法题
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莫比乌斯函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)(miu(n))作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下:
如果一个数包含平方因子,那么miu(n) = 0。例如:miu(4), miu(12), miu(18) = 0。
如果一个数不包含平方因子,并且有k个不同的质因子,那么miu(n) = (-1)^k。例如:miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。
给出一个区间[a,b],S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + ...... miu(b)。
例如:S(3, 10) = miu(3) + miu(4)+ miu(5)+ miu(6)+ miu(7)+ miu(8)+ miu(9)+ miu(10)
= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。
Input
输入包括两个数a, b,中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)
Output
输出S(a, b)。
Input示例
3 10
Output示例
-1
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$\sum_{i=1}^{n}\mu(i) = 1 - \sum_{d=2}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(i)$
#include<cstdio> #include<map> #define LL long long using namespace std; const int MAXN=; int limit=,tot=,vis[MAXN],prime[MAXN]; LL N,mu[MAXN]; void GetMu() { vis[]=;mu[]=; for(int i=;i<=limit;i++) { if(!vis[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-; for(int j=;j<=tot&&i*prime[j]<=limit;j++) { vis[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j]==) {mu[i*prime[j]]=;break;} else mu[i*prime[j]]=-mu[i]; } } for(int i=;i<=limit;i++) mu[i]+=mu[i-]; } map<LL,LL>Amu; LL SolveMu(LL n) { if(n<=limit) return mu[n]; if(Amu.count(n)) return Amu[n]; LL tmp=,nxt; for(LL i=;i<=n;i=nxt+) { nxt=n/(n/i); tmp-=(nxt-i+)*SolveMu(n/i); } return Amu[n]=tmp; } int main() { GetMu(); LL a,b; scanf("%lld%lld",&a,&b); printf("%lld",SolveMu(b)-SolveMu(a-)); return ; }