运用TensorFlow进行简单实现线性回归、梯度下降示例
线性回归属于监督学习，因此方法和监督学习应该是一样的，先给定一个训练集，根据这个训练集学习出一个线性函数，然后测试这个函数训练的好不好(即此函数是否足够拟合训练集数据)，挑选出最好的函数(cost function最小)即可。
单变量线性回归：
a) 因为是线性回归，所以学习到的函数为线性函数，即直线函数；
b) 因为是单变量，因此只有一个x。
我们能够给出单变量线性回归的模型：
我们常称x为feature，h(x)为hypothesis。
上面介绍的方法中，我们肯定有一个疑问，怎样能够看出线性函数拟合的好不好呢？
所以此处，我们需要使用到Cost Function(代价函数)，代价函数越小，说明线性回归也越好(和训练集合拟合的越好)，当然最小就是0，即完全拟合。
举个实际的例子：
我们想要根据房子的大小，预测房子的价格，给定如下数据集：
根据上面的数据集，画出如下所示的图：
我们需要根据这些点拟合出一条直线，使得Cost Function最小。虽然现在我们还不知道Cost Function内部到底是什么样的，但是我们的目标是：给定输入向量x，输出向量y，theta向量，输出Cost值。
Cost Function：
Cost Function的用途：对假设的函数进行评价，Cost Function越小的函数，说明对训练数据拟合的越好。
下图详细说明了当Cost Function为黑盒的时候，Cost Function的作用：
但是我们肯定想知道Cost Function的内部结构是什么？因此我们给出下面的公式：
其中：
表示向量x中的第i个元素；
表示向量y中的第i个元素；
表示已知的假设函数；m表示训练集的数量。
如果theta0一直为0，则theta1与J的函数为：
如果theta0和theta1都不固定，则theta0、theta1、J的函数为：
当然我们也能够用二维的图来表示，即等高线图：
注意如果是线性回归，则cost function一定是碗状的，即只有一个最小点。
Gradient Descent(梯度下降)：
但是又一个问题引出来了，虽然给定一个函数，我们能够根据cost function知道这个函数拟合的好不好，但是毕竟函数有这么多，总不能一个一个试吧？
于是我们引出了梯度下降：能够找出cost function函数的最小值。（当然解决问题的方法有很多，梯度下降只是其中一个，还有一种方法叫Normal Equation）。
梯度下降的原理：将函数比作一座山，我们站在某个山坡上，往四周看，从哪个方向向下走一小步，能够下降的最快。
方法：
a) 先确定向下一步的步伐大小，我们称为learning rate；
b) 任意给定一个初始值：
和
；
c) 确定一个向下的方向，并向下走预定的步伐，并更新
和
；
d) 当下降的高度小于某个定义的值，则停止下降。
算法：
特点：
a)初始点不同，获得的最小值也不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；
b)越接近最小值，下降速度越慢。
问题1：如果
和
初始值就在local minimum的位置，则
、
会如何变化？
答案：因为
、
已经在local minimum位置，所以derivative肯定是0，因此
、
不会改变。
问题2：如果取到一个正确的
值，则cost function应该会越来越小。那么，怎么取
值？
答案：随时观察
值，如果cost function变小了，则OK；反之，则再取一个更小的值。
下图就详细说明了梯度下降的过程：
从上图中可以看出：初始点不同，获得的最小值也不同，因此，梯度下降求得的只是局部最小值。
注意：下降的步伐大小非常重要，因为，如果太小，则找到函数最小值的速度就很慢；如果太大，则可能会出现overshoot the minimum现象。
下图就是overshoot现象：
如果Learning Rate取值后发现J function增长了，则需要减小Learning Rate的值。
Integrating with Gradient Descent & Linear Regression：
梯度下降能够求出一个函数的最小值。
线性回归需要求得最小的Cost Function。
因此我们能够对Cost Function运用梯度下降，即将梯度下降和线性回归进行整合，如下图所示：
梯度下降是通过不停的迭代，而我们比较关注迭代的次数，因为这关系到梯度下降的执行速度，为了减少迭代次数，因此引入了Feature Scaling。
Feature Scaling:
此种方法应用于梯度下降，为了加快梯度下降的执行速度。
思想：将各个feature的值标准化，使得取值范围大致都在-1<=x<=1之间。
常用的方法是Mean Normalization，即
，或者[X-mean(X)]/std(X)。
练习题
我们想要通过期中考试成绩预测期末考试成绩，我们希望得到的方程为：
给定以下训练集：
我们想对(midterm exam)^2进行feature scaling，则
经过feature scaling后的值为多少？
解答：其中max = 8836，min = 4761，mean = 6675.5，则
= (4761 - 6675.5)/(8836 - 4761) = -0.47 。
多变量线性回归
前面我们只介绍了单变量的线性回归，即只有一个输入变量，现实世界可不只是这么简单，因此此处我们要介绍多变量的线性回归。
举个例子：房价其实受很多因素决定，比如size、number of bedrooms、number of floors、age of home等，这里我们假设房价由4个因素决定，如下图所示：
我们前面定义过单变量线性回归的模型：
这里我们可以定义出多变量线性回归的模型：
Cost Function如下：
如果下面我们要用梯度下降解决多变量的线性回归，则我们还是可以用传统的梯度下降算法进行计算：
总练习题
我们想要根据一个学生第一年的成绩预测第二年的成绩，x为第一年得到A的数量，y为第二年得到A的数量，给定以下数据集：
(1) 训练集的个数？
答：4个。
(2) J(0, 1)的结果是多少？
解：J(0,1) = 1/(2*4)*[(3-4)^2+(2-1)^2+(4-3)^2+(0-1)^2] = 1/8*(1+1+1+1) = 1/2 = 0.5。
我们也可以通过vectorization的方法快速算出J(0, 1)：
下面是通过TensorFlow进行简单的实现：
#!/usr/bin/env python
from __future__ import print_function
import tensorflow as tf
import numpy as np
trX = np.linspace(-1, 1, 101)
# create a y value which is approximately linear but with some random noise
trY = 2 * trX + \
np.ones(*trX.shape) * 4 + \
np.random.randn(*trX.shape) * 0.03
X = tf.placeholder(tf.float32) # create symbolic variables
Y = tf.placeholder(tf.float32)
def model(X, w, b):
# linear regression is just X*w + b, so this model line is pretty simple
return tf.mul(X, w) + b
# create a shared for weight s
w = tf.Variable(0.0, name="weights")
# create a variable for biases
b = tf.Variable(0.0, name="biases")
y_model = model(X, w, b)
cost = tf.square(Y - y_model) # use square error for cost function
# construct an optimizer to minimize cost and fit line to mydata
train_op = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.01).minimize(cost)
# launch the graph in a session
with tf.Session() as sess:
# you need to initialize variables (in this case just variable w)
init = tf.initialize_all_variables()
sess.run(init)
# train
for i in range(100):
for (x, y) in zip(trX, trY):
sess.run(train_op, feed_dict={X: x, Y: y})
# print weight
print(sess.run(w)) # it should be something around 2
# print bias
print(sess.run(b)) # it should be something atound 4参考：