华北电力大学电力工程系、格里菲斯大学格里菲斯工程系的研究人员赵小军、晋志明、曹越芝、鲁君伟，在2019年第17期《电工技术学报》上撰文，采用复指数级数对周期变量进行展开，提出基于磁标量位和电矢量位的定点频域分解算法，并应用于叠片铁心直流偏磁问题的计算和分析。

采用棱单元对电矢量位进行插值计算。考虑场路耦合关系，以磁标量位和励磁电流为未知量建立求解二维非线性场的频域方程。引入定点磁导率实现各次谐波的解耦，有效地降低了频域求解的计算代价。利用叠片铁心模型进行直流偏磁实验，将计算结果与实验结果进行了比较，验证了该方法在直流偏磁问题计算与分析中的有效性。

在非线性磁场的求解和分析中，可以通过引入不同的位和位组，简化计算或提高效率。基于磁矢量位A的有限元法在二维、三维非线性磁场问题的求解中得到了广泛的应用。然而在三维场的计算中，由于每一个节点上A有三个方向分量，使得总未知量相对较多，进而占用较多内存；相对而言，基于磁标量位Ф的计算则有未知量总数少的优点。

另一方面，磁场问题中作为激励的外加电流的处理十分关键，尤其是在考虑场路耦合的条件下。一般直接在激励源网格中施加电流密度或者通过积分的方法计算电流对简化位的贡献，前者难以保证激励源与实体网格的准确吻合，后者则需要额外的积分运算，且不易处理场路耦合关系。

已有学者针对基于磁标量位的有限元法进行了研究。

• 有学者提出了对静态磁场进行求解的单标量磁位法，并对相关模型进行了求解。
• 有学者对简化标量位法、双标量位法和差场标量位法三种方法进行了分析，可以对一些问题进行比较准确的求解。
• 有学者使用双标量磁位法对开域静磁场进行了研究。
• 有学者给出了有源区域的处理方法并应用到三维电磁场的求解中。

但上述研究大多数针对无源区域的磁场进行分析，在有源区域的磁场需要通过积分的方法得到，在处理问题的过程中具有比较大的局限性。国外专家学者对磁标量位问题的研究相对较多。L. F. Yann等基于磁标量位对三维磁场的计算方法进行了深入研究。O.Bíró等在时域下采用磁标量位对涡流问题进行了计算和分析。M. Gérard等基于磁标量位对块状导体中的场路耦合关系和多连通域的处理方法进行了研究。

太阳磁暴的周期性变化产生的准直流、高压直流输电中单极大地回路方式或双极以不平衡方式运行和电力系统中电力电子器件特性的影响均会导致直流偏磁现象的发生。直流偏磁的发生会使变压器工作在半饱和状态，引起励磁电流发生畸变、损耗增加、温升增加和振动加剧等后果，严重影响变压器正常运行以及电力系统的安全稳定。

直流偏磁条件下变压器铁心内的磁场求解属于典型的强非线性问题。有相关研究工作采用A在时域和频域对直流偏磁问题进行计算和分析。当系统时间常数较大时，时步法需要较长的过渡时间，而频域法则可以克服这方面的缺陷，同时还能够与定点技术相结合，在频域内对各次谐波进行并行计算。

本文采用基于复指数级数的谐波平衡法建立基于磁标量位的频域非线性磁场方程，引入电矢量位对激励源进行处理从而有效地简化计算。将定点技术与频域算法相结合，考虑场路耦合关系，在频域内对直流偏磁磁场和励磁电流进行求解。利用叠片铁心模型进行直流偏磁实验，将基于磁标量位的计算结果同实验结果进行比较，验证了算法的有效性。

图1 叠片铁心实验模型

总结

• 1）提出了基于磁标量位的定点频域分解算法，对叠片铁心模型的直流偏磁问题进行求解和分析。通过与实验测量结果和其他数值方法计算结果的对比分析，验证了本文算法的有效性和准确性。
• 2）通过引入定点磁导率实现非线性系数矩阵的线性化处理，对各次谐波进行解耦，降低了计算中系统占用的内存，且适用于并行和分布式计算。在强加电流区域，引入与单位电流激励对应的电矢量位t0，利用其线性特征，基于棱单元进行插值计算。对于形状规则的绕组，该方法能够有效地实现场路耦合建模。
• 3）基于磁标量位的频域分解算法可以对直流偏磁条件下变压器内部的磁场进行较为准确和快速的计算，既避免了时步法中的过渡过程，又可以为研究由直流偏磁引起的变压器铁心损耗、局部温升、振动加剧及相关多物理场耦合问题提供重要支撑。
• 4）本文中的计算模型为二维模型，磁标量位占用内存少的优势难以体现，但其在三维电磁场数值计算中的优势将十分明显。后续研究工作需要进一步实现针对三维模型的计算程序，并实现本文方法在解决非线性涡流问题时的有效性分析及其验证。