机器学习中的线性代数：关于常用操作的新手指南

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编译 | 沈爱群，徐凌霄，Aileen

在学习深度学习的课程时，数学知识十分重要，而如果要挑选其中最相关的部分，“线性代数”首当其冲。

如果你也跟本文作者一样，正在探索深度学习又困于相关数学概念，那么一定要读下去，这是一篇介绍深度学习中最常用线性代数操作的新手指南。

什么是线性代数?

在深度学习中，线性代数是一个非常有用的数学工具，提供同时操作多组数值的方法。它提供多种可以放置数据的结构，如向量(vectors)和矩阵(matrices, 即spreadsheets)两种结构，并定义了一系列的加减乘除规则来操作这些结构。

为什么有用?

线性代数可以将各种复杂问题转化为简单、直观、高效的计算问题。下面这个Python例子展现了线性代数的高速与简洁。

# Multiply two arrays 将两个数组直接相乘

x = [1,2,3]

y = [2,3,4]

product = []

for i in range(len(x)):

product.append(x[i]*y[i])

# Linear algebra version 线性代数版操作

x = numpy.array([1,2,3])

y = numpy.array([2,3,4])

x * y

通过将数组初始化「numpy.array()」, 线性代数方法较数组相乘快了三倍。

它是怎样用于深度学习的?

神经网络(Neural networks)将权值(weights)存放于矩阵(matrices)中。线性代数使得矩阵操作快速而简单，特别是通过 GPU 进行运算。事实上，GPU 的设计便是受启发自向量和矩阵的运算。类似于用像素的多维数组(arrays of pixels)来表示图形图像，视频游戏通过大规模且持续的矩阵计算，带来了极具吸引力的游戏体验。GPU 是并行操作整个矩阵中的各个像素，而不是一个接一个地去处理单个像素。

向量

向量是关于数字或数据项的一维数组的表示。从几何学上看，向量将潜在变化的大小和方向存储到一个点。向量 [3, -2] 表示的是左移3个单位下移2个单位。我们将 具有多个维度的向量称为矩阵。

向量记法

应用中有多种表达向量的方式，下式是阅读中常见的几种表示。

几何学中的向量

向量通常用于代表从一个点出发的移动。它们用一个点存储了大小(magnitude)和方向(direction)的潜在变化。如向量 [-2,5] 表示左移2个单位并上移5个单位。 参考: http://mathinsight.org/vector_introduction.

v = [-2, 5]

一个向量可以应用于空间中的任何点。向量的方向等于向上5个单位和向左2个单位的斜线的斜率，它的大小等于该斜线的长度。

标量操作

标量操作涉及到一个向量和一个数。你可以通过对向量中的所有项进行加、减、乘操作，实现对一个向量的原地修改(in-place modification) 。

Scalar addition （标量相加）

元素操作Elementwise operations

在向量的元素操作中，如加减除，相应位置的值被组合生成了新的向量。向量 A中的第一个值与向量 B 中的第一个值相加，然后第二个值与第二个值配对，如此循环。这意味着，两个向量必须要有相同的维度才能进行元素操作。 *

Vector addition （向量相加）

y = np.array([1,2,3])

x = np.array([2,3,4])

y + x = [3, 5, 7]

y - x = [-1, -1, -1]

y / x = [.5, .67, .75]

*细节请参考下面关于numpy 中的 broadcasting 方法。

向量乘法

向量乘法有两种：点积(Dot product) 和 Hadamard乘积(Hadamard product)。

点积

两个向量的点积是一个标量。向量的点积和矩阵的乘法是深度学习中最重要的操作之一。

y = np.array([1,2,3])

x = np.array([2,3,4])

np.dot(y,x) = 20

Hadamard乘积

Hadamard 乘积是元素相乘，它的输出是一个向量。

y = np.array([1,2,3])

x = np.array([2,3,4])

y * x = [2, 6, 12]

向量场

如果我们对某点 (x,y) 应用了一个加法或乘法的向量函数，向量场表示了该点理论上可以移动多远。在空间中给定一个点，向量场显示了图中各个点的可能的变化力度(power)和方向(direction)。

向量场参考

上图这个向量场非常有趣，因为它随起点差异而向不同方向移动。原因是，该向量场背后的向量存储着如2x 或x² 这样的元素，而不是 -2 和 5这样的标量值。对于图中的每个点，我们将 x 轴的值带入 2x 或 x² 中，并绘制一个从开始点指向新位置的箭头。向量场对于机器学习技术的可视化非常有用，如绘制梯度下降(Gradient Descent)的方向。

矩阵

一个矩阵是数字或元素的矩形网格（如Excel表格），有着特别加、减、乘的运算规则。

矩阵维度

我们用m行n列( rows by columns)来描述矩阵的维度.

a = np.array([

[1,2,3],

[4,5,6]

])

a.shape == (2,3)

b = np.array([

[1,2,3]

])

b.shape == (1,3)

矩阵的标量运算 Matrix scalar operations

矩阵的标量运算与向量相同。只需将标量与矩阵中的每个元素进行加、减、乘、除等操作。

Matrix scalar addition （矩阵的标量相加）

a = np.array(

[[1,2],

[3,4]])

a + 1

[[2,3],

[4,5]]

矩阵的元素操作Matrix elementwise operations

为了实现两个矩阵的加、减、除操作，他们必须有着相同的维度。 * 我们对两个矩阵的对应元素值操作，组合生成新的矩阵。

a = np.array([

[1,2],

[3,4]

])

b = np.array([

[1,2],

[3,4]

])

a + b

[[2, 4],

[6, 8]]

a — b

[[0, 0],

[0, 0]]

Numpy 库的 broadcasting 方法*

这个方法不能不提，因为它在实践中被广泛使用。在 numpy中，矩阵的元素操作对矩阵维度的要求，通过一种叫做 broadcasting的机制实现。我们称两个矩阵相容(compatible)，如果它们相互对应的维度（行对行，列对列）满足以下条件:

1. 对应的维度均相等, 或

2. 有一个维度的大小是1

a = np.array([

[1],

[2]

])

b = np.array([

[3,4],

[5,6]

])

c = np.array([

[1,2]

])

# Same no. of rows

# Different no. of columns

# but a has one column so this works

# 相同行数，不同列数，但 a 仅有一列，所以可行。

a * b

[[ 3, 4],

[10, 12]]

# Same no. of columns

# Different no. of rows

# but c has one row so this works

# 相同列数，不同行数，但 c 仅有一行，所以可行。

b * c

[[ 3, 8],

[5, 12]]

# Different no. of columns

# Different no. of rows

# but both a and c meet the

# size 1 requirement rule

# 不同列数、不同行数，但 a 和 c 都满足大小为1的规则。

a + c

[[2, 3],

[3, 4]]

在更高的维度上（3维，4维），情况会变得有点诡异，但现在我们不必担心。理解2维上的操作是一个好的开始。

矩阵的 Hadamard 乘积 Matrix Hadamard product

矩阵的Hadamard 乘积是一个元素运算，就像向量一样。对应位置的值相乘产生新的矩阵。

a = np.array(

[[2,3],

[2,3]])

b = np.array(

[[3,4],

[5,6]])

# Uses python's multiply operator

# 使用 python 的乘法运算

a * b

[[ 6, 12],

[10, 18]]

在 numpy 中，只要矩阵和向量的维度满足 broadcasting的要求，你便可以对他们使用 Hadamard 乘积运算.

矩阵转置 Matrix transpose

神经网络经常需要处理不同大小的输入矩阵和权值矩阵，它们的维度常常不满足矩阵相乘的规则。矩阵转置提供了一种方法来“旋转”其中的一个矩阵，使其满足乘法操作的要求。转置一个矩阵分两个步骤：

1. 将矩阵顺时针旋转 90°

2. 反转每行元素的顺序（例如，[a b c] 变成 [c b a]）。

以将矩阵 M 转置成 T为例:

a = np.array([

[1, 2],

[3, 4]])

a.T

[[1, 3],

[2, 4]]

矩阵的乘法 Matrix multiplication

矩阵的乘法定义了一系列关于矩阵相乘生成新矩阵的规则。

规则

不是所有的矩阵都可以进行乘法运算。并且，对于输出的结果矩阵也有维度要求。 参考.

1. 第一个矩阵的列数 必须等于第二个矩阵的行数

2.一个 M x N 矩阵和 N x K 矩阵的乘积结果是一个 M x K 矩阵. 新的矩阵取 第一个矩阵的行M 和 第二个矩阵的列K 。

步骤

矩阵的乘法依赖于点积与各个行列元素的组合。 以下图为例(取自 Khan学院的线性代数课程)，矩阵 C中的每个元素都是矩阵 A 中的行与矩阵B中的列的点积。

参考

操作 a1 · b1 意味着我们对矩阵A的第一行(1, 7) 和矩阵B 的第一列 (3, 5) 做点积运算.

也可以换一种角度来看:

为什么矩阵乘法以这种方式工作?

矩阵的乘法很有用，但它的背后并没有什么特别的数学的定律。数学家们把它发明出来是因为它的规范简化了之前乏味的运算。这是一个人为的设计，但却非常有效。

用这些例子自我测试下

使用 numpy 做矩阵乘法

Numpy 使用函数 np.dot(A,B) 做向量和矩阵的乘法运算。它有一些其他有趣的特性和问题，所以我建议你在使用之前先阅读该说明文档 (https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.dot.html)。

a = np.array([

[1, 2]

])

a.shape == (1,2)

b = np.array([

[3, 4],

[5, 6]

])

b.shape == (2,2)

# Multiply

mm = np.dot(a,b)

mm == [13, 16]

mm.shape == (1,2)

更多教程

• 可汗学院——线性代数 (https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra)

• 深度学习读本——数学部分：(http://www.deeplearningbook.org/contents/part_basics.html)

• 吴恩达的课程笔记：https://www.coursera.org/learn/machine-learning/resources/JXWWS

• 关于线性代数的解释：https://betterexplained.com/articles/linear-algebra-guide/

• 关于矩阵的解释：http://blog.stata.com/2011/03/03/understanding-matrices-intuitively-part-1/

• 线性代数概述：http://www.holehouse.org/mlclass/03_Linear_algebra_review.html

• 沉浸式数学——线性代数：http://immersivemath.com/ila/index.html