逻辑回归将样本特征和样本发生的概率联系起来，用于解决分类问题。

Sigmoid 函数

在最简单的二分类中，逻辑回归里样本发生的概率的值域为 [0, 1]，对于线性回归 $\hat{y} = \theta^T·x_b$，为了将 $\hat y$ 映射到值域 [0, 1] 中，引入了 $\sigma$ 函数得到了概率函数 $\hat p$，即：

$$\hat p=\sigma(\theta^T·x_b), \hat p\in[0, 1]$$

Sigmoid 函数 $\sigma$ 表示为：$\sigma(t)=\frac{1}{1+e^{-t}}$，图示如下：

当 t > 0 时，$\sigma$ > 0.5；当 t < 0 时，$\sigma$ < 0.5。因此可对二分类的分类方式为：

$$\hat y=\begin{cases} 1, & \hat p \geq 0.5 \\ 0, & \hat p \leq 0.5 \end{cases}; \hat p=\sigma(\theta^T·x_b)=\frac{1}{1+e^{-\theta^T·x_b}}$$

损失函数

如果实际的分类为1，p 越小时，损失越大；如果实际的分类为0，p 越大时，损失越大。引入 log 函数表示则为：

$$-ylog(\hat p)-(1-y)log(1-\hat p)$$

当 y=0 时，损失为 $-log(1-\hat p)$；当 y=1 时，损失为 $-log(\hat p)$。

对于有 m 样本的数据集 (X, y)，损失函数为：

$$J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^my^{(i)}log(\sigma(X_b^{(i)}\theta))+(1-y^{(i)})log(1-\sigma(X_b^{(i)}\theta))$$

其中：$X_b^{(i)} = (1,x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},...,x_{n}^{(i)})$；$\theta = (\theta_{0}, \theta_{1}, \theta_{2},..., \theta_{n})^T$。

损失函数的梯度

为了得到在损失尽可能的小的情况下的 $\theta$，可以对 $J(\theta)$ 使用梯度下降法，结果为：

$$\nabla J(\theta) = \frac{1}{m}·\begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{m}(\sigma(X_b^{(i)}\theta) - y^{(i)}) \\\ \sum_{i=1}^{m}(\sigma(X_b^{(i)}\theta) - y^{(i)})·X_1^{(i)} \\\ \sum_{i=1}^{m}(\sigma(X_b^{(i)}\theta) - y^{(i)})·X_2^{(i)} \\\ \cdots \\\ \sum_{i=1}^{m}(\sigma(X_b^{(i)}\theta) - y^{(i)})·X_n^{(i)} \end{pmatrix}$$

略去了公式的推导过程。

进行向量化处理后结果为：

$$\nabla J(\theta) = \frac{2}{m}·X_b^T·(\sigma(X_b\theta)-y)$$

实现二分类逻辑回归算法

使用 Scikit Learn 的规范将逻辑回归的过程封装到 LogisticRegression 类中。

_init_() 方法首先初始化逻辑回归模型，_theta 表示 $\theta$，interception_ 表示截距，chef_ 表示回归模型中自变量的系数：

class LogisticRegression:
    def __init__(self):
        self.coef_ = None
        self.interceiption_ = None
        self._theta = None

_sigmoid() 方法实现 Sigmoid 函数：

def _sigmoid(self, t):
    return 1 / (1 + np.exp(-t))

fit() 方法根据训练数据集训练模型，J() 方法计算损失 $J\theta$，dJ() 方法计算损失函数的梯度 $\nabla J(\theta)$，gradient_descent() 方法就是梯度下降的过程，X_b 表示添加了 $x_{0}^{(i)}\equiv1$ 的样本特征数据：

def fit(self, X_train, y_train, eta=0.01, n_iters=1e4):
    def J(theta, X_b, y):
        y_hat = self._sigmoid(X_b.dot(theta))
        try:
            return - np.sum(y * np.log(y_hat) + (1 - y) * np.log(1- y_hat) ** 2) / len(y)
        except:
            return float('inf')

    def dJ(theta, X_b, y):
        return X_b.T.dot(self._sigmoid(X_b.dot(theta)) - y) /len(y)

    def gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=n_iters, epsilon=1e-8):
        theta = initial_theta
        i_ters = 0

        while i_ters < n_iters:
            gradient = dJ(theta, X_b, y)
            last_theta = theta

            theta = theta - eta * gradient

            if (abs(J(theta, X_b, y) - J(last_theta, X_b, y)) < epsilon):
                break

            i_ters += 1

        return theta
                
    X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train])
    initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1])

    self._theta = gradient_descent(X_b, y_train, initial_theta, eta)
    self.interception_ = self._theta[0]
    self.coef_ = self._theta[1:]

    return self

predict_proba() 将传入的测试数据与训练好模型后的 $\theta$ 经过计算后返回该测试数据的概率：

def predict_proba(self, X_predict):
    X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict])
    return self._sigmoid(X_b.dot(self._theta))

predict() 方法将经过 predict_proba() 方法得到的测试数据的概率以 0.5 为界转换成类别（0或1）：

def predict(self, X_predict):
    proba = self.predict_proba(X_predict)
    return np.array(proba >= 0.5, dtype='int')

score() 将测试数据集的预测分类与实际分类进行比较计算模型准确度：

def score(self, X_test, y_test):
    y_predict = self.predict(X_test)
    return sum(y_predict == y_test) / len(y_test)

决策边界

对于 $\hat p=\sigma(\theta^T·x_b)=\frac{1}{1+e^{-\theta^T·x_b}}$，要使 $\hat p=0.5$ 则 $\theta^T·x_b=0$，这就是决策边界。

假设 X 数据集只有两个特征，则由 $\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2=0$ 得到 $x_2$ 和 $x_1$ 的关系为：

$$x_2=\frac{-\theta_0-\theta_1x_1}{\theta_2}$$

如图所示，图中的点为只有两个特征的数据，纵轴为特征 $x_2$，横轴为特征 $x_1$，梯度下降法得到的 $\theta$ 与上面公式计算后的决策边界即为图中斜线：

逻辑回归中使用多项式特征

对于多项式回归，如对 $y=x_1^2+x_2^2-r$ 进行逻辑回归，可以将 $x_1^2$ 看作一个特征 $z_1$，将 $x_2^2$ 看作一个特征 $z_2$，Scikit Learn 提供了 PolynomialFeatures 可以方便的进行转换。

举例如下。首先准备数据：

import numpy as np

X = np.random.normal(0, 1, size=(200, 2))
y = np.array(X[:, 0] ** 2 + X[:, 1] ** 2 < 1.5, dtype='int')

数据可视化如图：

使用前面的 LogisticRegression 类进行逻辑回归，并且使用 Scikit Learn 的 Pipeline 将多项式特征、数据归一化和逻辑回归组合在一起：

from LogisticRegression import LogisticRegression
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

def PolynomailLogisticRegression(degree):
    return Pipeline([
        ('poly', PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ('std_scaler', StandardScaler()),
        ('log_reg', LogisticRegression())
    ])

设定 PolynomialFeatures 处理后得到的新的特征数据最高维度为2，然后 fit() 方法训练模型：

poly_log_reg = PolynomailLogisticRegression(degree=2)
poly_log_reg.fit(X, y)

得到模型可视化如图：

Scikit Learn 中的逻辑回归

Scikit Learn 中的 linear_model 模块中也提供了逻辑回归的算法，同时也封装了模型正则化相关的内容。

根据正则化中的正则项的不同，正则化的方式主要有四种：

1. $J(\theta)+\alpha L_1$
2. $J(\theta)+\alpha L_2$
3. $C·J(\theta)+L_1$
4. $C·J(\theta)+L_2$

Scikit Learn 中的逻辑回归算法的模型正则化采用后两种的方式。

L1 为 L1正则项，即 $\sum_{i=1}^n|\theta_i|$，LASSO 回归使用了L1；

L2 为 L2正则项，即 $\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\theta_i^2$，岭回归使用了L2；

Scikit Learn 的逻辑回归算法中的参数 c 设定 C 的大小，参数 penalty 设定使用哪种正则项（l1 或 l2）。使用方式如下：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

def PolynomailLogisticRegression(degree, C, penalty='l2'):
    return Pipeline([
        ('poly', PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ('std_scaler', StandardScaler()),
        ('log_reg', LogisticRegression(C=C, penalty=penalty))
    ])

poly_log_reg = PolynomailLogisticRegression(degree=20, C=0.1, penalty='l1')
poly_log_reg.fit(X_train, y_train)

OvR 与 OvO

前面说的都是二分类的逻辑回归，如果要进行多分类的逻辑回归，有 OvR 和 OvO 两种方式。

OvR（One vs Rest）将多类别简化成其中一个类别和其余类别为一个类别这种二分类，因此 n 个类别就进行 n 次分类，对于新的数据，看它在这 n 个分类结果中哪个分类得分最高即为哪个类别。

OvO（One vs One）在多类别中选取两个类别作为二分类，因此 n 个类别就进行 $C_n^2$ 次分类，对于新的数据，看它在这 $C_n^2$ 次分类结果中数量最大即为哪个类别。

Scikit Learn 的逻辑回归算法中的参数 multi_class 用于设定使用 OvR(参数值为 ovr）还是 OvO（参数值为 multinomial），如：

LogisticRegression(multi_class='ovr')
LogisticRegression(multi_class='multinomial')

同时 Scikit Learn 中的 multiclass 模块中也提供了 OneVsRestClassifier（OvR）类和 OneVsOneClassifier（OvO）类，可以将任意的二分类算法（要求符合 Scikit Learn 规范）应用在这两个类上完成多分类。使用方式如下：

# OvR
from sklearn.multiclass import OneVsRestClassifier
ovr = OneVsRestClassifier(LogisticRegression())
ovr.fit(X, y)

# OvO
from sklearn.multiclass import OneVsOneClassifier
ovo = OneVsOneClassifier(log_reg)
ovo.fit(X, y)

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