换个姿势学数学：广义二次函数的致命魔术
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UX006
在 UX005 中我们通过计算机成功的解决了，广义二次函数零点的计算问题，并且成功拆除了炸弹。
神秘的“配方”
➣那没有计算机之前，人们到底是如何解方程的呢？
那么，人们到底是如何解决这个问题的呢?
用的是一种叫做“配方法”的技巧。
其实就是：转换角度。
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。 --- 苏轼《题西林壁》
什么叫做“配方”?
这个词不好理解，其实就是“多项式因式分解”。
一个多项式，可以看成系数和多项式乘积的形式。
其实这就是“乘法的分配律”：pa+pb+pc=p(a+b+c)。
广义二次函数的通式 ax^2+bx+c 也是可以这么搞的。
最终都可以分解成两种形式，一种是任意两个多项式乘积的形式A；另外一种是平方形式(两个相同的多项式乘积)和一个常数组成新的多项式B。
这个是很容易理解的，一定是可以这么分解成的，这种操作是一种计算技巧，有了计算机之后，其实就不是那么重要了。所以这里也不多介绍，对这种技巧感兴趣的可以搜一下“配方”或者“因式分解”。自己琢磨也行，鼓捣鼓捣基本上都能够分出来。另外，我在后面也会贴一张《普林斯顿微积分》中因式分解的简单介绍，作为参考。[1]
形式N(通式)：f(x)ax^2+bx+c (a≠0)
形式A(两根式)：f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
形式B(顶点式)：f(x)=a(x-m)^2+n (a≠0)
➣为什么，形式B后面还要加上一个常数项呢?
如果不加这个常数项的话，他是不能组成任意的形式N的。因为这种“平方”的形式，要求两个多形式是一致的，结果的多样性自然是不如任意组合的形式A，所以只能靠后期常数凑出来。
因式分解之后有什么好处呢?
分解之后，我们能够从另一个角度来看待这个解析式，而这个角度恰好是我们需要的。
两根式形式，能让我们一眼就看出当f(x)=0时的解，这个解就是(x1,x2)。这个自不必多言，想必大家一看就懂。
最重要的是这个“顶点式”，它代表着什么意思呢?为什么会这样呢?
非负次幂多项式函数
其实我们学的一次函数和二次函数都属于“非负次幂多项式函数”，这种函数经都是经过“幂函数”，变化得来的。
广义二次函数其实可以看成是零次函数+一次函数+二次函数这三种幂函数运算的产物。
这也正是我把二次函数定义收窄的原因，因为这个名字实在太基础了，这么用掉实在是太可惜。
函数的运算不只是加减乘除，之前我们说过，他还有一种运算叫做复合，所以还可以看成这种形式。
坐标系上的魔法师
重新回到广义二次函数通式。
在上一节中我们讲到，广义二次函数只是在二次函数的基础上经过位移得到的，基本上的形状并没有任何改变。
那么，理论上讲，我们可以通过任意的二次函数经过x轴和y轴的位移变成广义二次函数。
Y轴位移
➣那么怎么位移呢?
Y轴的位移是非常简单的，直接在Y上再加常数项就是了：因为Y其实就是输出值，所以从解析式来看，就是在解析式的末尾加了一个常数；从图像的角度来看，就相当于拽着整个图像，上下移动。
这个我们在一次函数上讲到过。二次函数完全同理。
X轴位移
➣X轴如何位移呢?
其实同理，就是在x上增减常数就是了。
所以两者一结合就可以形成一种任意移动的形式，这种形式就是所谓的“顶点式”。
其中，a负责二次函数开合角度和方向(a是二次函数放大系数)，b负责X轴移动，c负责Y轴移动。
➣为什么叫做“顶点式”？
因为，从这个解析式中可以直观的看出顶点，坐标就是{-b, c}。
这个其实不难理解，因为一开始的时候b=0&c=0的时候，顶点是(0,0)，形状不变的情况下，整个图形进行了移动，那么整个图形的移动和顶点的位移其实是一样的。
在二次函数中，无论系数如何变化，只有顶点(0,0)是不会改变的，所以确定了顶点也就确定了二次函数的整个移动方向。
复合运算
其实，顶点式可以看成一次函数与二次函数以及零次函数的一种复合运算。
真实面目
➣ 什么是初等函数?
初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，等基本初等函数，经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生的函数。
当需要处理一个复杂函数时，从基本初等函数+运算的角度来看它，也许对于解决问题非常有帮助。
所以，记住基本初等函数的图像和性质，是非常有必要的。
➣之后的谈什么?
过会继续沿着基本初等函数继续向下谈，不过在此之前可能要先谈一下虚数相关的内容。
虚数属于抽象代数领域，之所以说抽象，是因为在现实生活中很难找到对应的现象。
之所以这样，才迷幻而令人神往。
虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物。
--- 莱布尼茨
在实数域中，连接两个真理的最短的路径是通过复数域
---- 雅克 · 阿达马
[2]
总结
- 还没有计算机之前，人们通过“因式分解”，这种计算技巧，通过转换角度来解决函数零点的计算问题。
- 广义二次函数可以看成幂函数的运算结果。
- 初等函数是由基本初等函数经过简单运算得来的。
注释
[1]
[2] 摘自 https://www.zhihu.com/questio... @王小龙
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